Développement décimal d'un irrationnel

[alexis6]

Je vais essayer de reformuler encore si je n'ai pas été clair.

On considère un nombre x de R qui vérifie la propriété:
- x a un développement décimal infini
- x a un développement décimal sans répétition
- le développement décimal de x contient les nombres { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
- Si les suites 0(n), 1(n), 2(n), 3(n) (...) 7(n), 8(n), 9(n) représentent les effectifs de 0, 1, 2 (...) 7, 8, 9 dans le développement décimal de x en fonction de n pour une troncature à 10^-n, alors ces suites convergent vers une même suite a(n).

De plus on considère la suite X(n) des séries associant un nombre de { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } à son effectif correspondant { 0(n) , 1(n) (...) 8(n), 9(n) } dans le développement décimal de x pour une troncature à 10^(-n) donnée. Alors la suite définie par E(n), associant à n l'écart type de la série X(n), converge vers 0 en + inf.

Démo:

On peut définir de même les suites x(n) et v(n) associant respectivement à n la moyenne et la variance de la série X(n).

Alors lim(n-->+inf) x(n) = 1/10*( lim(n-->+inf) 0(n) + (...) + lim(n-->+inf) 9(n) )

D'où lim(n-->+inf) x(n) = 1/10*(10a(n)) = a(n)

Il vient ensuite:



Et ce résultat vaut a(n)^2 - a(n)^2 = 0
D'où lim(n-->+inf) E(n) = rac ( ( lim(n-->+inf) v(n) ) = 0

[zygomatique]

rien compris ....

pour éviter les pb relevés par Ben314 ne considérer que les réels non rationnels ....

avec la troncature à l'ordre n alors on a n décimales qui se répartissent en 0, 1, ...., n

si on suppose que ça tend vers une équirépartition alors on aura autant de 0, 1, 2, ...., 9 donc chaque chiffre représentera 1/10 de l'effectif total ....

donc ton a(n) tend vers 1/10 .... épictou ....

[alexis6]

rien compris ....

Après " n'importe quoi.... " et " c'est evidemment faux " je m'y attendais :ptdr:
Bon après c'est pas grave si vous faites pas d'efforts ( parce que bon un prof agregé ne va pas me faire croire qu'il comprend pas un raisonnement de 1ere ) moi j'en ai fait je sais qu'il y a un fond de vrai au moins. Mais bon, là j'ai essayé d'être clair alors, je ne peux pas plus c'est mon max. Vous n'êtes pas obligé de répondre si ce n'est pour ne rien apporter de constructif.

[Lostounet]

Salut,

Il faut absolument que tu te poses des questions intéressantes comme celles-ci. Personellement, je trouve qu'on y apprend bien plus si que dans un exo du livre!
Il ne faut donc pas se sentir vexé devant des "complètement absurde" :p Il faut au contraire essayer de reprendre, de rejustifier comme tu l'as fait !

Je vais essayer de reformuler encore si je n'ai pas été clair.

On considère un nombre x de R qui vérifie la propriété:
- x a un développement décimal infini
- x a un développement décimal sans répétition
- le développement décimal de x contient les nombres { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
- Si les suites 0(n), 1(n), 2(n), 3(n) (...) 7(n), 8(n), 9(n) représentent les effectifs de 0, 1, 2 (...) 7, 8, 9 dans le développement décimal de x en fonction de n pour une troncature à 10^-n, alors ces suites convergent vers une même suite a(n).

D'accord mais tout x de R a un développement décimal infini (avec des 0) mais tu rajoutes que c'est pas un truc avec répétition j'imagine donc que c'est pas un "motif" qui se répète donc pas un rationnel. Tu prends donc simplement un irrationnel ?

Juste une question... Est-ce que tout irrationnel contient nécessairement tous les chiffres de 0 à 9 ? Je pense que c'est faux vu que c'est faux déjà pour les rationnels... Mais du coup comment peut-on savoir? Parce que dans un rationnel il suffit de regarder le motif pour avoir une idée de tous les chiffres... Bref

A chaque chiffre de 0 - 9 tu associes le nombre d'apparition de ce chiffre jusqu'à l'ordre 10^-n d'accord mais un petit problème de vocabulaire: une suite ne converge pas vers une suite mais vers un nombre ! donc a(n) c'est un nombre? A moins de parler d'une suite de suites... mais je ne sais pas ce que c'est...


Ensuite X(n) c'est quoi? Une suite?
Pour tout n,
X(1) = nombre d'apparitions de 1 jusqu'à 10^-n
X(2) = nombre d'apparitions de 2 etc?

Et toi tu veux montrer que lorsque n tend vers l'infini, l'écart-type de la série statistique (infinie) "tend vers 0" ?

Il y a quelques petits problèmes dans la preuve: tu fais une limite de n en + oo mais de l'autre coté tu divises par n..est-ce que n tend ou pas vers l'infini?



Regarde cette petite expérience, j'ai fait augmenter n à chaque fois et j'ai calculé l'écart-type des chiffres:

V2 = 1.41 (e-type: 1,7)

V2 = 1.41421 (e-type: 1,4)

V2 = 1.4142135623 (e-type: 1,7)

V2 = 1.414213562373095 (e-type: 2,4)

ça n'a pas l'air de tendre vers 0 pour l'instant: pourquoi ne pas écrire un algorithme qui puisse calculer l'écart-type pour un nombre de chiffres n très grand? Comme ça on y verra plus clair.

[alexis6]

Merci beaucoup pour cette réponse encourageante.

D'accord mais tout x de R a un développement décimal infini (avec des 0) mais tu rajoutes que c'est pas un truc avec répétition j'imagine donc que c'est pas un "motif" qui se répète donc pas un rationnel. Tu prends donc simplement un irrationnel ?

Oui c'est la définition équivalente il me semble.

Juste une question... Est-ce que tout irrationnel contient nécessairement tous les chiffres de 0 à 9 ? Je pense que c'est faux vu que c'est faux déjà pour les rationnels... Mais du coup comment peut-on savoir? Parce que dans un rationnel il suffit de regarder le motif pour avoir une idée de tous les chiffres... Bref

Non pas nécessairement. Par exemple le chiffre que j'ai construit précedemment avec les nombres premiers du type 0.01101010001010001. Mais c'est nécessaire dans mon cas de le dire.

A chaque chiffre de 0 - 9 tu associes le nombre d'apparition de ce chiffre jusqu'à l'ordre 10^-n d'accord mais un petit problème de vocabulaire: une suite ne converge pas vers une suite mais vers un nombre ! donc a(n) c'est un nombre? A moins de parler d'une suite de suites... mais je ne sais pas ce que c'est...

Oui je me suis mal exprimé. Je voulais dire ainsi lim 0(n) - a(n) = lim 1(n) - a(n) = (...) = 0

Ensuite X(n) c'est quoi? Une suite?
Pour tout n,
X(1) = nombre d'apparitions de 1 jusqu'à 10^-n
X(2) = nombre d'apparitions de 2 etc?

Non c'est une suite de N dans N^2, qui a n associe la série X pour une troncature à 10^-n. La série X appartenant à { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } associe les effectifs n1,n2 (...) appartenant à N. On a dans tous les cas n qui varie en fonction de la troncature à 10^(-n).

Par exemple 0(8) correspond le nombre de 0 pour une troncature à 10^-8.
Par exemple X(8) correspond à la série pour une troncature à 10^(-8)

Regarde cette petite expérience, j'ai fait augmenter n à chaque fois et j'ai calculé l'écart-type des chiffres:

V2 = 1.41 (e-type: 1,7)

V2 = 1.41421 (e-type: 1,4)

V2 = 1.4142135623 (e-type: 1,7)

V2 = 1.414213562373095 (e-type: 2,4)

ça n'a pas l'air de tendre vers 0 pour l'instant: pourquoi ne pas écrire un algorithme qui puisse calculer l'écart-type pour un nombre de chiffres n très grand? Comme ça on y verra plus clair.

Mes calculs sont faux ( évidemment, aurait dit zygomatique :marteau: ). On voit dans ton expérience que l'écart type a l'air de converger vers une valeur autour de 2. Pour 10^6 décimales de pi j'ai:

Nombre de 0: 99959
Nombre de 1: 99758
Nombre de 2: 100026
Nombre de 3: 100229
Nombre de 4: 100230
Nombre de 5: 100359
Nombre de 6: 99548
Nombre de 7: 99800
Nombre de 8: 99985
Nombre de 9: 100106

Ce qui donne un écart type de précisément: 2.872281323
Autrement dit l'écart type calculé par zygomatique théoriquement précedemment.

De toute façon tout ce que j'ai écrit est faux. J'ai mal compris certaines formules ( par exemple confusion avec l'écart type ). En fait ce que j'avais pas compris, c'est que la moyenne tenait en compte les 1, 2, 3 (...) 7, 8, 9; autrement dit qu'elle était coefficientée, ce qui n'a pas de sens dans les calculs que je veux faire.

Avec les décimales de pi, on peut calculer les décalages avec la moyenne:

Pour 0: - 41
Pour 1: - 242
Pour 2: 26
Pour 3: 229
Pour 4: 230
Pour 5: 359
Pour 6: - 452
Pour 7: - 200
Pour 8: - 15
Pour 9: 106

Ce qui fait un écart à la moyenne de 190 en valeur absolue. L'écart type vaut 234.71 ( sans coefficients ). Je pense que SANS COEFFICIENTS , l'écart type relatif C = E/m = 10E/n ( ou m la moyenne, E l'écart type ) converge vers 0. Donc en gros l'écart type croit moins rapidement que la moyenne quand n devient grand.

En fait c'est comme si on piochait au hasard 10 boules numérotées de 0 à 9 dans un sac. Au bout de 10 essais, on a pas tiré forcément les 10 différentes boules, mais au bout de 10^9 essais par exemple, on aura sûrement un nombre très similaire de boules numérotées 1, 2, 3 (...).

Personnellement j'avais donc deux questions:
- quels nombres ont cette structure qui fait que leur développement décimal obéit à cette loi? Quels exemples? Sont ce les rationnels, les irrationnels, les algébriques, les transcendants, les nombres normaux? Moi je m'étais déjà demandé si cela marchait pour les irrationnels.
- comment démontrer, ou quelles outils pour démontrer qu'un nombre vérifie effectivement cette loi, hormis l'observation?

[mathelot]

bjr,

on écrit

en développant une série (me rappelle plus laquelle)

de là à trouver la loi des digits de

[Ben314]

Bon, ben je recommence vu que visiblement tu as pas compris :
Les décimales d'un réel quelconque, principalement celle d'un irrationnel (qui sont non périodiques) peuvent être absolument quelconque, donc ton "écart type" ou je sais pas quoi que tu calcule, il peut valoir absolument n'importe quoi.
Par contre, en terme de probabilité, si tu tire un réel "au hasard", il est effectivement "presque sûr" (au sens des probabilités) que ton réel soit un réel normal et en particulier, que les décimales en base 10 soient équiréparties (comme dans toute autre base).

Mais il faut bien comprendre ce que signifie ce "presque sûr" au sens des proba : il y a une énorme infinité de réels qui ne vérifient pas cette règle d'équirépartition (et même une infinité non dénombrable).
Intuitivement, ce "presque sûr" veut (plus ou moins) dire qu'il y en a une infinité de fois plus (donc une infinité de fois une infinité...) qui eux vérifient l'équirépartition et donc que si tu en prend un au pif, tu est quasi-sûr qu'il sera équiréparti.
Par exemple, vu que tu parle de Pi, on ne sait toujours pas s'il est normal ou pas, mais si on devait parier, il vaudrait sans doute mieux parier qu'il l'est vu qu'ils e sont "presque tous".

[alexis6]

Bon, ben je recommence vu que visiblement tu as pas compris :
Les décimales d'un réel quelconque, principalement celle d'un irrationnel (qui sont non périodiques) peuvent être absolument quelconque, donc ton "écart type" ou je sais pas quoi que tu calcule, il peut valoir absolument n'importe quoi.
Par contre, en terme de probabilité, si tu tire un réel "au hasard", il est effectivement "presque sûr" (au sens des probabilités) que ton réel soit un réel normal et en particulier, que les décimales en base 10 soient équiréparties (comme dans toute autre base).

Ok merci pour la rectification! Toutefois je ne parlais plus des irrationnels là mais seulement du nombre pi. Pour mes questions je reprenais seulement celle du début ( mais j'ai compris ). Mais c'est beaucoup plus clair avec ton explication de proba!

Donc en gros y a aucun moyen de démontrer quoi que ce soit à mon niveau ( en terme de proba par exemple )? Cela doit être " intuitif " c'est ça?

[Ben314]

Que ce soit "à ton niveau" ou... à un niveau quelconque... voilà ce que dit Wiki :

Il est extrêmement difficile de démontrer la normalité de nombres pourtant simples. Par exemple, on ne sait pas si 2, , ln(2) ou e sont normaux (mais tous sont conjecturés comme normaux, conformément aux expériences).
On ne sait même pas démontrer qu'un chiffre donné apparaît une infinité de fois dans le développement décimal de ces constantes.

Donc je veut pas te décourager, mais...

EDIT
Tient, si, j'ai une question "à ton niveau" : montrer que dans l'écriture en base 2 de il y a une infinité de 0 et aussi une infinité de 1.

[alexis6]

EDIT
Tient, si, j'ai une question "à ton niveau" : montrer que dans l'écriture en base 2 de il y a une infinité de 0 et aussi une infinité de 1.

Salut,

Je vais essayer de répondre à ta question mais ça me semble pas évident si on ne suppose pas que tout chiffre donné apparaît une infinité de fois dans le développement décimal de racine de 2 or la citation dis le contraire.

" On ne sait même pas démontrer qu'un chiffre donné apparaît une infinité de fois dans le développement décimal de ces constantes. "

Car si en effet tel était le cas, alors par exemple le chiffre 2 apparaîtrait une infinité de fois, et donc en base 2 c'est 10 donc il y aurait une inifinité de 0 et de 1.

Mais sinon j'ai cette idée là:

Sachant que le développement décimal de racine de 2 en base 10 ( même chose en base 2 ) est infini, et ne se répète pas, on peut distinguer 4 cas:
- il y a un nombre fini de 0 et de 1 dans le développement décimal en base 2 de racine de 2.
- il y a un nombre fini de 0, infini de 1
- il y a un nombre infini de 0, fini de 1
- il y a une infinité de 0 et de 1

On veut prouver le dernier cas. Le premier cas est à rejeter puisque la réunion de deux ensembles finis est un ensemble fini. Maintenant il s'agit de réfuter le cas 2 et le cas 3.

On peut écrire les chiffres de 0 à 9 en base 2:

0 ---- 1 ---- 2 ---- 3 ---- 4 ----- 5 ----- 6 ---- 7 ----- 8 ------ 9
0 ---- 1 ---- 10 --- 11 -- 100 -- 101 -- 110 -- 111 -- 1000 - 1010

Pour la suite la suite l'idée est de classer les nombres selon qu'ils s'écrivent avec des 0 seulement, des 1 seulement ou des 0 et des 1. Ainsi:
- les nombres s'écrivant seulement avec des 0 en base 2: il n'y a que 0
- les nombres s'écrivant seulement avec des 1 en base 2: il y a 1,3,7
- les nombres s'écrivant avec des 0 et des 1: 2,4,6,8,9

Dans le cas où il y a un nombre fini de 1 et infini de 0: le développement décimal de racine de 2 en base 10 admet au moins une infinité de 0 ou de 1 ou de 2 ou de 3 (...) ou de 8 ou de 9. Sinon son développement décimal serait fini. Si il contient une infinité de 1,3 ou 7, alors on a pas une infinité de 0. Si il contient une infinité de 2,4,6,8,9: alors on a bien une infinité de 0, mais aussi de 1 ce qui contredit l'hypothèse de départ.

Donc on a un nombre fini de 2,4,6,8,9 et un nombre infini de 0 en base 10

Le même raisonnement dans le 3ème cas donne:

On a également un nombre fini de 2,4,6,8,9 et un nombre infini de 1,3,7 en base 10

Bon ben voilà si je trouve une contradiction à ces deux propositions, j'ai fini la démo.

[danyL]

On peut écrire les chiffres de 0 à 9 en base 2:

0 ---- 1 ---- 2 ---- 3 ---- 4 ----- 5 ----- 6 ---- 7 ----- 8 ------ 9
0 ---- 1 ---- 10 --- 11 -- 100 -- 101 -- 110 -- 111 -- 1000 - 1010

Pour la suite la suite l'idée est de classer les nombres selon qu'ils s'écrivent avec des 0 seulement, des 1 seulement ou des 0 et des 1. Ainsi:
- les nombres s'écrivant seulement avec des 0 en base 2: il n'y a que 0
- les nombres s'écrivant seulement avec des 1 en base 2: il y a 1,3,7
- les nombres s'écrivant avec des 0 et des 1: 2,4,6,8,9

Dans le cas où il y a un nombre fini de 1 et infini de 0: le développement décimal de racine de 2 en base 10 admet au moins une infinité de 0 ou de 1 ou de 2 ou de 3 (...) ou de 8 ou de 9. Sinon son développement décimal serait fini. Si il contient une infinité de 1,3 ou 7, alors on a pas une infinité de 0. Si il contient une infinité de 2,4,6,8,9: alors on a bien une infinité de 0, mais aussi de 1 ce qui contredit l'hypothèse de départ.

Donc on a un nombre fini de 2,4,6,8,9 et un nombre infini de 0 en base 10

Le même raisonnement dans le 3ème cas donne:

On a également un nombre fini de 2,4,6,8,9 et un nombre infini de 1,3,7 en base 10

bonjour
je crois comprendre que tu passes de la base 10 à la base 2 en convertissant chaque chiffre du nombre ?
(15)base 10 s'écrirait donc 1 101 en base 2 ?
ou j'ai mal interprété ton texte ?

[alexis6]

bonjour
je crois comprendre que tu passes de la base 10 à la base 2 en convertissant chaque chiffre du nombre ?
(15)base 10 s'écrirait donc 1 101 en base 2 ?

Je sais pas je croyais qu'on faisait comme ça en base 2 pour les décimales. Si tel n'est pas le cas, bah je me suis lamentablement trompé. Dans ce cas, je réessayerais encore et encore, jusqu'à écrire enfin un raisonnement juste ( j'y arriverai un jour :triste: ). Moi c'est ma méthode d'apprentissage: tout ce que j'écris est faux, mais au moins j'écris donc je progresse.

[danyL]

je ne voulais pas te décourager
ceci pourra t'aider
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=T4D521C7DE.2&+lang=fr&+module=tool%2Fnumber%2Fbaseconv.fr

[Ben314]

Effectivement, si on a jamais réfléchi à la question, ce n'est pas complètement évident de comprendre comment ça marche la base 2.
Au fond, c'est le même principe que la base 10 : en base 10, le nombre qu'on écrit 625,937 vaut
En base 2, le nombre qu'on écrit 100110,1011001 vaut donc s'écrit 38,6953125 en base 10, et le passage base 2 base 10 ne se fait pas du tout "chiffre par chiffre".

Si on considère le nombre x qui s'écrit 0,9 en base 10, saurait-tu l'écrire en base 2 ?