Exercices sur les Suites : Developpement décimal périodique

[Tiilt]

Bonjour,
Tout d'abord merci pour l'attention que vous me consacrez.
Je bloque depuis maitenant plusieurs jours sur un exercice consacré aux suites que voici :

"On considère un nombre a dont l'écriture dans le système décimal est
a = 2,341 41 41 ... 41 ..., les pointillés indiquant que, dans cette écriture, la "tranche" 41 est répétée indéfiniment à partir de 2,3.
L'objectif est de démontrer que le nombre a est un nombre rationel c'est à dire le quotient de deux entiers.
Si on pose Uo ( U"zéro" ) = 2,3 et U1 = 2,341 et de manière générale
Un = 2,34141...41 ( avec n traches 41 ) alors on conçoit que le nombre a est la limite de (Un)

1°) Vérifiez que U1=U0+(41/10^3), U2=U1+(41/10^5)
Et plus généralement, pour tout naturel p supérieur ou égal à 1 :
Up = Up-1 + (41/10^2p+1)

C'est sur ce passage en rouge que je bloque, je ne sais pas si par "vérifier" on entend "démontrer", ni comment m'y prendre pour y arriver.

Merci de m'avoir accordé un petit peu de votre temps.
Dans l'attente de votre aide qui me sera très précieuse

Quentin

[abcd22]

Bonjour, je pense qu'il faut démontrer ce résultat, et qu'une récurrence doit permettre de le faire.

[Tiilt]

Merci d'avoir répondu si vite, par récurrence qu'entendez vous exactement ? Wikipédia ne me donne pas une réponse très compréhensible à mon niveaux sur ce type de raisonement, j'avais dans un premier temps entrepris de démontrer cette égalité en expliquant avec des phrases qu'on ajoute une tranche 41 au terme précédent mais les choses se compliquent avec le "2p+1", je n'arrive pas à l'expliquer et mon travail jusqu'à présent ne s'apparente pas vraiment à une démonstration ...
Pensez vous que je doive partir de cette égalité pour en arriver à un autre plus explicite, ou bien dois-je expliquer ma démonstration avec des phrases en français ?

Merci pour votre aide

[abcd22]

J'ai écrit trop vite, c'est pour trouver Up en fonction de p qu'il faudrait faire une récurrence.
Ici on peut dire que pour passer de Up-1 à Up on ajoute un 41, et le 1 qu'on ajoute est à la 2p+1 ième place après la virgule (parce qu'on a ajouté p fois 41, et il y avait le 3 au début, donc en tout on a 2p+1 chiffres après la virgule dans Up), donc on ajoute .