Un compact

[Ben314]

son adhérence est une réunion d'intervalles de R. Donc....

Heu.....
- Soit on prend ton terme "intervalle" au pied de la lettre (i.e. sa définition) et ton truc est sans aucun intérêt vu que toute partie de R est réunion d'intervalles réduit à des points.
- Soit on prend le terme "intervalle" au sens "intervalle non réduit à un point" et ton truc est trivialement faux vu que, si a est un rationnel, {a} est bien un fermé borné de Q mais son adhérence dans R n'est pas une réunion d'intervalles.

Sinon, lorsque l'on ne précise rien concernant la métrique prise sur Q, c'est qu'il s'agit de celle induite par celle de R et donc la notion de "fermé de Q" et de "borné de Q" a parfaitement du sens : ce sont, par définition, les intersection des fermés [respectivement des bornés] de R avec Q.

[jlb]

Bonjour Ben, bon, je "vois" les parties finies de Q, les ensembles constitués des termes de suites de rationnels ayant une limite rationnel, des unions finies de tels ensembles, des intersections de tels ensembles. Y-a-t-il d'autres "bêtes" fermé borné de Q?

Pour les unions, on doit pouvoir avoir des unions infinies d'ensembles précédents à condition que les suites créées à partir des limites ne donnent pas un irrationnel.

Je dois dire des bêtises. Si quelqu'un peut m'éclairer, merci.

[paquito]

Salut ???? on est dans Q!!! et si c'est un fermé, je vois pas ce que l'adhérence aurait de plus que l'ensemble, non?

Revoyez votre cours de topologie!!!

[paquito]

Heu.....
- Soit on prend ton terme "intervalle" au pied de la lettre (i.e. sa définition) et ton truc est sans aucun intérêt vu que toute partie de R est réunion d'intervalles réduit à des points.
- Soit on prend le terme "intervalle" au sens "intervalle non réduit à un point" et ton truc est trivialement faux vu que, si a est un rationnel, {a} est bien un fermé borné de Q mais son adhérence dans R n'est pas une réunion d'intervalles.

Sinon, lorsque l'on ne précise rien concernant la métrique prise sur Q, c'est qu'il s'agit de celle induite par celle de R et donc la notion de "fermé de Q" et de "borné de Q" a parfaitement du sens : ce sont, par définition, les intersection des fermés [respectivement des bornés] de R avec Q.

Salut Ben,

[q, q], c'est pas un intervalle? :lol3:un fermé borné de Q ne peut pas contenir une partie dense dans un intervalle de R.

[Ben314]

un fermé borné de Q ne peut pas contenir une partie dense dans un intervalle de R.

???????????
[0,1]nQ n'est il pas un "fermé borné de Q qui contient une partie (à savoir lui même) dense dans un intervalle de R" ?

[jlb]

???????????
[0,1]nQ n'est il pas un "fermé borné de Q qui contient une partie (à savoir lui même) dense dans un intervalle de R" ?

Bonsoir Ben, du coup, si je considère une suite u de rationnels de [0;1] tendant vers racine(2)/2 et que je considère l'ensemble {un, n dans N}U{racinede(2)/2} inter Q. J'ai un fermé borné de Q si j'ai bien compris. Et du coup, j'ai un fermé borné qui n'est pas un compact de Q.
J'espère ne pas dire de bêtise? Je dois déjà aller relire mon cours..... Merci.

[paquito]

???????????
[0,1]nQ n'est il pas un "fermé borné de Q qui contient une partie (à savoir lui même) dense dans un intervalle de R" ?

Et tu refais le clown! Et la topologie trace, tu t'en sers parfois? :ptdr:

[bolza]

Je suis désolé paquito mais je ne comprend pas vos remarques :triste:

quand vous dites désolé, je n'ai même pas vérifié : vérifié quoi ?
ensuite vous dites fermé borné implique compact c'est faux : je sais bien cela, je n'ai jamais dit que c'était vrai
après je suis d'accord avec la remarque de jlb : un ensemble est fermé ssi il est égal à son adhérence.
et qu'appelez vous la topologie trace ?

[Ben314]

Et tu refais le clown! Et la topologie trace, tu t'en sers parfois? :ptdr:

Non, je ne fait absolument pas "le clown" et je comprend toujours pas un traitre mot de ce que tu raconte (ni ou tu veut en venir d'ailleurs).
Ce que tu appelle la "topologie trace", c'est bien ce que le vulgum pecus appelle la topologie induite ?
Si oui, c'est quoi le rapport entre la notion de topologie induite et le fait que tes deux dernières affirmation sont erronées ?

[Ben314]

Bonsoir Ben, du coup, si je considère une suite u de rationnels de [0;1] tendant vers racine(2)/2 et que je considère l'ensemble A={un, n dans N}U{racinede(2)/2} inter Q.
J'ai un fermé borné de Q si j'ai bien compris. Oui, vu que B={un, n dans N}U{racinede(2)/2} est un fermé (car son complémentaire est une réunion d'intervalles ouverts) borné de R, l'enselmble A=BnQ est un fermé borné de Q
Et du coup, j'ai un fermé borné qui n'est pas un compact de Q. Effectivement vu que la suite (un) est dans B mais n'a pas de valeur d'adhérence dans B
J'espère ne pas dire de bêtise? Je dois déjà aller relire mon cours..... Merci.

Mais si tu cherche juste un fermé borné de Q non compact, autant prendre directement [0,1]nQ : ça semble plus simple...

[paquito]

Une chose est claire, on a répondu à la question posé et "fermé borné =>compact", c'est faux et j'ai même donné une démonstration d'un contre exemple. Sinon:

@bolza
désolé, ça veut dire quel'on parle fermé donc j'ai pensé "ouvert" et j'ai écrit "fermé"; et je ne me suis pas relu; voilà. :lol3:

@Ben
[0; 1] est un fermé de R; Q est un fermé de Q, donc n'est pas l'intersection de deux fermés de Q, c'est la trace de Q sur [0; 1]. Appelons le F; on a dans R; F n'est donc pas pas un fermé de R. en tant que partie de Q muni bien sûr par la topologie induite par | |, il existe des suites à valeurs dans F qui convergent vers un élément, donc on ne pourra extraire aucune sous suite convergente et F n'est pas compact, a fortiori pas fermé non plus! Donc, aucun intérêt!
sinon, toute partie finie de Q est un fermé de Q. :zen:

[jlb]

Bonjour, du coup, je reprends ma question initiale soulevée par Bolza
: peut-on considérer Q comme un Q espace vectoriel normé de dimension 1?

Si oui, le théorème de Riez est-il uniquement valable pour les espaces vectoriels de dimension finie sur R ou C ( je l'ai appris comme cela sans me poser tant de questions...) ou pour d'autres espaces vectoriels normés.

Merci en tout cas si vous pouvez m'aider ou expliquer mes erreurs, je raconte certainement n'importe quoi.

@Ben: merci, j'ai pris cet exemple car j'avais souvenir que l'ensemble des termes d'une suite associé à la limite de la suite est un compacte.

[Godfrey]

Le théorème de Riesz ne s'applique qu'aux espaces vectoriels réels (ou éventuellement complexes).

Mais peut-être qu'on s'éloigne un peu de la question initiale, non ?
On voulait trouver un espace métrique E dans lesquel les fermés bornés sont exactement les compacts.
Si E est un espace vectoriel réel, alors le précédent théorème dit que E doit être pris de dimension finie.
Mais en existe-t-il d'autres ? On vient de voir (après un long débat) que c'est faux pour Q.

[Ben314]

... donc n'est pas l'intersection de deux fermés de Q...

????? Ah bon, c'est pas l'intersection de [0,1/2]nQ et de [1/2,1]nQ qui sont tout les deux des fermés de Q (voire de lui même avec lui même vu que c'est un fermé de Q) ???

Le pire, c'est que vois même pas avec quelle notion tu es en train de te mélanger les pinceaux...

[paquito]

????? Ah bon, c'est pas l'intersection de [0,1/2]nQ et de [1/2,1]nQ qui sont tout les deux des fermés de Q (voire de lui même avec lui même vu que c'est un fermé de Q) ???

Le pire, c'est que vois même pas avec quelle notion tu es en train de te mélanger les pinceaux...

Faudrait qu'on précise les notations, c'est quoi ton [0;1]? un doubleton de Q, tous les rationnels compris entre 0 et 1? ou quoi encore? Soigne tes notations! (Et ton orthographe par la même occasion)
:ptdr:

Sans compter qu 'on est hors sujet depuis un bout de temps!

[Ben314]

Pour moi, de façon vachement étrange et super surprenante, [0,1], ça désigne l'ensemble des réels x compris au sens large entre 0 et 1.
Mais c'est vrai que c'est pas super usité comme notation et que ça fait "peu soigné" de l'utiliser... :stupid_in

Donc avec cette notation super archi pas classique du tout, [0,1], c'est un fermé borné de R donc [0,1]nQ, c'est un fermé borné de Q (étonnant non :ptdr: )

[paquito]

Merci Ben tu est une vraie mère poule pour moi :we:

Pour moi, mais je me trompe peut être, Q n'est pas un fermé de R. De plus R est un espace métrique et Q n'est pas un R-e.v.(à on humble avis) donc si on prend pour Q la topologie trace, les ouverts de Q sont les intersections des ouverts de R avec Q commeou; Si je n'ai pas dit trop de conneries, on passe aux complémentaires pour avoir les fermés? Qu'est qu'on fait du cul qui se balade? :ptdr: :ptdr: :ptdr:

[Ben314]

Ben oui, c'est bien ça, et le complémentaire dans de l'ouvert de c'est qui est un fermé de .

Si tu veut, la "règle générale" purement ensembliste, c'est que, si A et B sont deux parties d'un ensemble X, alors le complémentaire dans A de A inter B, c'est A inter (le complémentaire de B dans X) et c'est ça qui fait que non seulement la trace des ouvert donne les ouverts de la topologie induite, mais que la trace des fermés donne les fermés de la topologie induite.

[paquito]

Je ne suis pas tout à fait convainQ! [0; 1] est bien homéomorphe à{-oo; +oo).

est dense dans (Il me semble bien que tout voisinage de oo rencontre Q).

Donc est dense dans et aussi dans ;

Donc tu as raison, mais ce n'est pas une évidence biblique ton histoire de Q! Ca méritait bien quelques

précisions; je te laisse le soit d'expliquer pourquoi dans la topologie induite l'adhérence deest .
:ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr:

Question subsidiaire: est il compact (facile)

[jlb]

Le théorème de Riesz ne s'applique qu'aux espaces vectoriels réels (ou éventuellement complexes).

Mais peut-être qu'on s'éloigne un peu de la question initiale, non ?
On voulait trouver un espace métrique E dans lesquel les fermés bornés sont exactement les compacts.
Si E est un espace vectoriel réel, alors le précédent théorème dit que E doit être pris de dimension finie.
Mais en existe-t-il d'autres ? On vient de voir (après un long débat) que c'est faux pour Q.

@Godfrey : Et bien, merci pour cette réponse. C'est sympa les réponses aux questions posées...