Convergence de suite dans un compact

[lunameika]

Bonjour,

Je suis en train de réviser pour préparer mon partiel de Topologie, il y a un exercice intéressant que j'ai trouvé mais je n'arrive pas à le faire, mon problème c'est que je n'arrive jamais à commencer mes démonstrations, et ca me fait peur pour le jour J! Pouvez vous m'aider à ,résoudre cet exercice? Me dire par quoi faudrait-il que je commence, et pourquoi??

voici l'exercice:

soit u appartenant à X^N une suite. On suppose qu'elle n'a qu'une seule valeur d'adhérence et que X est compact. Montrer que u est convergente.

pour moi si cette suite à une valeur d'adhérence, ca veut dire qu'il existe une sous suite de u qui converge vers cette valeur d'adhérence?
donc u converge?
et de plus u est dans un compact (donc dans un fermé et est bornée) donc elle converge automatiquement vers une valeur non??

[abcd22]

Bonjour,

pour moi si cette suite à une valeur d'adhérence, ca veut dire qu'il existe une sous suite de u qui converge vers cette valeur d'adhérence?

Oui.

donc u converge?

Non, une suite peut très bien n'avoir qu'une valeur d'adhérence et ne pas converger, par exemple la suite qui vaut 0 pour les n pairs et n pour les n impairs n'a que 0 comme valeur d'adhérence, mais elle ne converge pas (et elle n'est pas à valeurs dans un compact).

et de plus u est dans un compact (donc dans un fermé et est bornée) donc elle converge automatiquement vers une valeur non??

Non, elle admet au moins une valeur d'adhérence, ça ne veut pas dire qu'elle converge.

Pour la démonstration, ça marche bien par l'absurde : on appelle L l'unique valeur d'adhérence de (u_n), on suppose que (u_n) ne converge pas vers L. Construire une sous-suite de (u_n) qui converge vers L' différent de L.

[lunameika]

Pour la démonstration, ça marche bien par l'absurde : on appelle L l'unique valeur d'adhérence de (u_n), on suppose que (u_n) ne converge pas vers L. Construire une sous-suite de (u_n) qui converge vers L' différent de L.


arf comment dois-je dire ca?
je dis par exemple, soit Xn une sous suite de Un qui converge vers L' différent de L, donc L' est valeur d'adhérence de Un, or d'apres l'hypothèse L est l'unique valeur d'adhérence de Un, donc il n'existe pas de sous suite de Un qui converge vers L',

mais si le fait qu' une suite peut très bien n'avoir qu'une valeur d'adhérence et ne pas converger, comment je peux dire que u converge? c'est ca que je ne comprends pas bien ?

[abcd22]

je dis par exemple, soit Xn une sous suite de Un qui converge vers L' différent de L, donc L' est valeur d'adhérence de Un, or d'apres l'hypothèse L est l'unique valeur d'adhérence de Un, donc il n'existe pas de sous suite de Un qui converge vers L',

Il faut montrer que si la suite ne convergeait pas vers L, il existerait une sous-suite de (u_n) qui convergerait vers L' différent de L, ce qui contredit le fait que (u_n) a une seule valeur d'adhérence, donc la suite (u_n) converge. L'existence d'une telle sous-suite n'est pas évidente, il faut la démontrer, et comme on a supposé que (u_n) ne convergeait pas vers L, la première chose qu'on peut faire c'est traduire avec des quantificateurs « (u_n) ne converge pas vers L », et voir ce qu'on pourrait faire de cette hypothèse, et comment on pourrait utiliser la compacité de X.

mais si le fait qu' une suite peut très bien n'avoir qu'une valeur d'adhérence et ne pas converger, comment je peux dire que u converge? c'est ca que je ne comprends pas bien ?

Une suite à valeurs dans un espace non compact peut n'avoir qu'une valeur d'adhérence et ne pas converger, ici on suppose X compact.

[lunameika]

sachant que Un converge vers L s'écrit :

quelque soit delta > 0, il existe N appartenant à N (entier) tel que pour tout n >= N, d(Un,L)<= delta

la négation serait

il existe delta >0 tel que pour tout N appartenant à N (entier), il existe n => N tel que d(Un,L) > delta

?

[abcd22]

Voilà, avec ça on pourrait construire une sous-suite de (u_n) qui vérifie pour tout n ...

[lunameika]

donc cette sous suite est en dehors de B(L,delta) donc converge vers une autre lim L' != L car nous sommes dans un compact, or c'est absurde car on sait que L est l'unique valeur d'adhérence, donc Un converge?

[abcd22]

donc cette sous suite est en dehors de B(L,delta) donc converge vers une autre lim L' != L car nous sommes dans un compact

Elle ne converge pas, mais elle admet une sous-suite qui converge.

or c'est absurde car on sait que L est l'unique valeur d'adhérence, donc Un converge?

Oui.

[lunameika]

pouvez vous me faire un petit résumé de tout ce que l'on vient de voir, et qui me permette de conclure pr u?

car j'ai peur de mal m'exprimer et de faire sans le vouloir des confusions au niveau de l'écriture...

[leon1789]

voir http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=451923&posted=1#post451923

[leon1789]

Un raisonnement par l'absurde avec une récurrence (pour définir ) , c'est trop compliqué je trouve.

voir http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=451923&postcount=150

[Maxmau]

Un raisonnement par l'absurde avec une récurrence (pour définir ) , c'est trop compliqué je trouve.

voir http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=451923&postcount=150

Bj

Je propose celle-ci en espérant ne pas m'être trompé

Je note An l’ensemble des termes de la suite u d’indice supérieur ou égal à n et Fn l’adhérence de An. n désigne le complémentaire de Fn dans X (;)n est un ouvert)
(An) et (Fn) sont des suites décroissantes au sens de l’inclusion.
(;)n) est une suite croissante au sens de l’inclusion
L’intersection de tous les Fn (ensemble des valeurs d’adhérence de la suite u ) se réduit ici à la seule valeur d’adhérence a de la suite u
Soit V un voisinage ouvert de a
Les n plus V constituent un recouvrement ouvert de X dont on peut extraire un sous recouvrement fini. Comme la suite (;)n) est croissante, il existe un k tel que k union V = X. D’où : Fk et Ak contenus dans V
Je te laisse conclure

[Maxmau]

Je n'avais pas fait attention au lien donné par Leon1789

[leon1789]

Les n plus V constituent un recouvrement ouvert de X dont on peut extraire un sous recouvrement fini. Comme la suite (;)n) est croissante, il existe un k tel que k union V = X.

avec la définition topologique des compacts, ok :we: