Bonjour, je suis tombé sur cet exo:
Soit un espace métrique compact (par exemple une partie compacte de ), soit la -algèbre borélienne de et soit une mesure finie sur .
Montrer que est régulière, c'est à dire que pour tout , on a
.
Indication: On pourra considérer l'ensemble des tels que, pour tout , il existe compact et ouvert vérifiant et , et montrer que contient au moins les ouverts.
J'ai du mal à voir pourquoi l'ensemble vide est compact. La partie vide est compacte si elle est séparée et si de tout recouvrement ouvert de on peut extraire un sous-recouvrement fini de .
Le seul recouvrement de est qui est fini.
Mais je ne vois pas comment montrer que est séparé.
Après pour la résolution de l'exercice je crois que j'ai trouvé un plan:
1) montrer que les ouverts de sont dans ;
2) montrer que est une -algèbre, et donc on a .
J'introduis les notations :
, et ;
, et .
Par la croissance (au sens de l'inclusion) de la mesure , il est clair que . Il reste à montrer que .
Ensuite, soit un entier . Il existe un compact et tel que
[CENTER] et .[/CENTER]
D'où et .
Autrement dit et .
Donc est une suite de et est une suite de , les deux ayant pour limite . Donc .