Fonction continue bornée et ensemble compact

par **ffpower** » 27 Oct 2009, 19:49

et dans la lignée directe,l autre réciproque de Heine:si E=espace métrique,si f:E->R vérifie que l image de tout compact est compact,est ce que f est continue?

par **fourize** » 27 Oct 2009, 21:42

bonsoir Angelique_64.

la réponse est NON. la reciproque est fausse.
contre exemple:
soit E=IR , et

par Arctan. la fonction est continue bornée, mais IR n'est pas compact :zen:

par **ffpower** » 27 Oct 2009, 21:48

pardon, j avais oublié l hypothese "f injective" :marteau:

par **ffpower** » 27 Oct 2009, 21:50

fourize a écrit:bonsoir Angelique_64.

la réponse est NON. la reciproque est fausse.
contre exemple:
soit E=IR , et par Arctan. la fonction est continue bornée, mais IR n'est pas compact :zen:

l hypothese c est que toutes les fonctions continues sont bornees,pas juste qu il en existe une(et tant qu a faire,t aurais pu aussi prendre une fonction constante..)

par **ffpower** » 27 Oct 2009, 22:05

j aime bien l isomorphie entre nos 2 réponses a Fourize :we:

par **fourize** » 27 Oct 2009, 22:20

ffpower a écrit:j aime bien l isomorphie entre nos 2 réponses a Fourize :we:

de quoi de quoi? t'as NON comme reponse?

PS. je suis entrain de chercher comment le demontrer mais je suis sur que la reponse est "fausse".
j'ai comme idée de prendre E comme juste les intervalle de la fct mais il peut y avoir d'autres fonctions continues ... Aie !

par **yos** » 29 Oct 2009, 06:40

Pour l'exo initial, j'ai envie de prendre une suite

de E sans valeur d'adhérence. Quitte à extraire on peut supposer ses termes tous distincts. Ensuite, si on pose

, je ne vois pas ce qui empêcherai de prologer f à E en une fonction continue (qui du coup serait non bornée).

par **yos** » 29 Oct 2009, 07:24

Je sais pas : je vais réfléchir à une "construction".

par **Doraki** » 29 Oct 2009, 12:07

Et si toute fonction continue de E dans R est bornée ou uniformément continue ?

par **Doraki** » 04 Nov 2009, 14:52

Soit

une suite de points deux à deux distincts de E.
On suppose que la suite n'a pas de valeur d'adhérence.
Pour n quelconque,
comme

n'est pas une valeur d'adhérence de la suite, il existe

tel que

.
Soit

.
Les boules

sont deux à deux disjointes car

si

Il est facile de montrer que f est continue sur chaque ouvert

, qui recouvrent E, donc f est continue.

f n'est ni bornée ni uniformément continue, donc on a une contradiction.

Fonction continue bornée et ensemble compact

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