Rang fini => compact

par **melreg** » 06 Nov 2008, 17:33

Bonjour,

On trouve à plusieurs endroits que tout opérateur de rang fini est un opérateur compact... mais visiblement, c'est trop facile pour en faire la preuve... enfin trop facile pour celui qui l'écrit car cela pose justement problème pour moi. Je cherche donc à montrer que tout opérateur de rang fini est un opérateur compact.

Petit rappel:
- un opérateur de rang fini est un opérateur

(avec

des espaces de Hilbert) tel que dim(Im(T))<

.
- un opérateur compact

(avec

des espaces de Hilbert) envoie les parties bornées de

sur des parties relativement compactes de

.

Je considère donc un opérateur de rang fini et une partie bornée P de

. Si j'arrive à montrer que T(P) est bornée dans

c'est gagné (car son adhérence sera fermée bornée dans T(

) donc compacte (car les fermés bornés sont les compacts en dimension finie...)

Vous pouvez me donner un coup de main? Merci d'avance

par **Doraki** » 06 Nov 2008, 18:01

melreg, tu en es donc arrivé à devoir montrer que P borné => T(P) borné,
et ça, ça équivaut à la continuité de T nan ?
Si T n'est pas continu ça doit pas être trop dur d'avoir un contre-exemple ?

par **melreg** » 07 Nov 2008, 09:18

Donc selon toi Doraki, l'énoncé correct serait plutôt :

Tout opérateur continu de rang fini est compact

Pourtant, ce n'est pas ce que j'ai vu...

par **ThSQ** » 07 Nov 2008, 16:06

melreg a écrit:Tout opérateur continu de rang fini est compact

A noter que c'est un pléonasme vu que toute application linéaire de rang fini est continue.

Sinon c'est facile : l'image de la boule unité est bornée, dans un evn de dimension finie, donc relativement compacte.

par **Purrace** » 07 Nov 2008, 16:14

THSQ , tu n'a toujours pas répondu à ma question ?

par **ThSQ** » 07 Nov 2008, 16:16

Purrace a écrit:THSQ , tu n'a toujours pas répondu à ma question ?

Euh, c'est une question ?

par **Purrace** » 07 Nov 2008, 16:19

Je sais que t'est assez exceptionnelle en maths , c'est pour ca que je te pose cette question : Juste t'est en quelle classe , car si t'est en spe maths , je me suicide!!!!
T'a le droit de pas répondre !

par **ThSQ** » 07 Nov 2008, 16:21

Purrace a écrit:Jsi t'est en spe maths , je me suicide!!!!

Un de moins ! 'ssssprit concours

par **Purrace** » 07 Nov 2008, 16:26

Un futur ENSien ULM ou CACHAN ?

par **ThSQ** » 07 Nov 2008, 18:39

A choisir je préfèrerais la vie sur le haut plateau :dingue2:

par **Doraki** » 07 Nov 2008, 20:32

Euh dites-moi si je me fourvoie totalement, mais
si je prends un espace de Hilbert H au hasard de dimension infinie et une base (go axiome du choix) normée au hasard (au sens où tout élément de H est combinaison linéaire FINIE d'éléments de la base) (e1 e2 .... en .... ......)
et si je prends une application linéaire au hasard de H dans C qui dit que T(ei) = i, ben j'ai bien un opérateur linéaire de rang 1 (qui est fini) et complètement pas continu ni compact ?

Et puis de toutes façons, les opérateurs pas continus, tout le monde s'en fout tellement ils sont méchants quoi.

par **ThSQ** » 08 Nov 2008, 08:35

Doraki a écrit:Euh dites-moi si je me fourvoie totalement

Non tu as raison, des formes non continues ça existe. C'est moi qui suis une quiche j'ai oublié l'hypothèse que Ker(f) devait être fermé .... :briques:

par **Dominique Lefebvre** » 09 Nov 2008, 16:22

ThSQ a écrit:A choisir je préfèrerais la vie sur le haut plateau :dingue2:

le platal, le platal...

par **ThSQ** » 09 Nov 2008, 18:56

Dominique Lefebvre a écrit:le platal, le platal...

Près du Mont Lozère ?

par **Dominique Lefebvre** » 09 Nov 2008, 19:32

ThSQ a écrit:Près du Mont Lozère ?

Et ses célèbres escaliers (p... d'escaliers!)

Rang fini => compact

rang fini => compact

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