Polynôme

[nirmalaa]

Bonjour,
je ne comprend pas comment déduire toutes les racines de P après avoir repondu à la question 1 , 2
1) Montrer que P : P(z)=z^(3)+(-2-2i)z²+(2+4i)z-4i admet une racine imaginaire pure ; on posera z=ib avec b réel et on utilisera P(ib)=0.
REPONSE : Z= -2i ( ce que j'ai trouver en faisant ts le calcul )
2) Résoudre l'équation z²-2z+2=0
REPONSE : les 2 solutions sont 1-i et 1+i.
3) En déduire toutes les racines de P ( la question que je ne comprend comment déduire )

Merci de votre aide.

[Monsieur23]

Aloha,

Je trouve 2i pour la racine imaginaire pure.

Ensuite, comme 2i est racine, tu peux factoriser (x - 2i) dans ton polynôme, et il te reste l'équation de la question 2.

[alegaxandra]

Un théorème de d'Alembert-Gauss dit que tout polynôme de degré n (n=3 ici) à coefficients complexes a n racines distinctes ou non dans . Or, on a déterminé les racines...

[firefighter90]

c'est effectivement 2i la solution de la 2ème équation.

du coup ton polynôme de degré 3 se factorise en (Z-2i)*Q tel que Q est un polynôme d'ordre 2.

Pour nous faciliter la vie, il nous ont proposé de résoudre l'équation Z²-2Z+2=0, c'est un indice :lol3:

car avec un peu de flaire on sait que notre Q(Z) qui manque est = Z²-2Z+2

il suffit de faire le produit pour retomber sur le polynôme de degré 3 qui a au plus 3 racines distinctes que tu as déja trouvées.

[nirmalaa]

je ne comprend pas quand vous dites : "il suffit de faire le produit pour retomber sur le polynôme de degré 3 qui a au plus 3 racines distinctes que tu as déja trouvées."

[Carpate]

je ne comprend pas quand vous dites : "il suffit de faire le produit pour retomber sur le polynôme de degré 3 qui a au plus 3 racines distinctes que tu as déja trouvées."

Ce que firefighter90 t'as écrit signifie que P(z), factorisable par i, s'écrit :
et qu'en effectuant le produit et en l'identifiant à , c'est-à-dire en écrivant que les coefficient des termes de même puissance en z sont égaux, tu trouveras les valeurs de et et oh miracle , soit le polynôme du second degré dont tu as calculé les racines à la question précédente ...

[nirmalaa]

oui j'ai trouver a=1 , b=-2 et c=2 par identification