Espace vectoriels - prépa

[Hypokâgne-use]

Bonjour,

Je galère pour mon DM de maths... J'ai revu tout mon cours, j'ai essayé de comprendre, mais rien y fait, je sèche totalement. :mur:
Du coup je viens demander un petit coup de pouce, c'est pour une question parmi tant d'autres :

L'ensemble D des polynômes à coefficients réels de degré 2 est-il un sous-espace vectoriel de R[X] ?

Merci pour votre patience,

Hypokhâgne-use.

[jlb]

Bonjour,

Je galère pour mon DM de maths... J'ai revu tout mon cours, j'ai essayé de comprendre, mais rien y fait, je sèche totalement. :mur:
Du coup je viens demander un petit coup de pouce, c'est pour une question parmi tant d'autres :

L'ensemble D des polynômes à coefficients réels de degré 2 est-il un sous-espace vectoriel de R[X] ?

Merci pour votre patience,

Hypokhâgne-use.

Salut, quel est l'élément neutre pour la somme? appartient-il à D?

[Hypokâgne-use]

Quel est l'élément neutre pour la somme? appartient-il à D?

Et je dois montrer la stabilité par combinaison linéaire aussi ?

Montrer que :

- D R[X]
- D ;)
- stabilité de D

[jlb]

Et je dois montrer la stabilité par combinaison linéaire aussi ? Non, cela n'est pas possible!!!

Montrer que :

- D C R[X] glop, par définition de D
- D ;) glop, par exemple x² appartient à D
- stabilité de D PAS GLOP!!

Relis la question!!! ta réponse doit être oui ( et là, tu argumentes en vérifiant la définition d'un sous espace vectoriel) ou non ( et là, tu exhibes un argument )

Du coup, je reprends:
quel est le neutre pour la somme de deux polynômes?
est-il de degré 2?
quelle conclusion obtiens-tu pour D?

( il y a d'autres arguments possibles: -x² et x²+1 appartiennent à D, que peux-tu dire de leur somme?)

Bon courage pour la suite.

[Hypokâgne-use]

Relis la question!!! ta réponse doit être oui ( et là, tu argumentes en vérifiant la définition d'un sous espace vectoriel) ou non ( et là, tu exhibes un argument )

Du coup, je reprends:
quel est le neutre pour la somme de deux polynômes?
est-il de degré 2?
quelle conclusion obtiens-tu pour D?

( il y a d'autres arguments possibles: -x² et x²+1 appartiennent à D, que peux-tu dire de leur somme?)

Bon courage pour la suite.

L'éléments neutre est 0, non ?
Par rapport à ton exemple, leur somme vaut 1 et 1 n'est pas un polynôme de degré 2 : il n'appartient donc pas à D.
Donc ce n'est pas un sous-espace vectoriel car il n'est pas stable par l'addition (?)

[Sake]

L'éléments neutre est 0, non ?
Par rapport à ton exemple, leur somme vaut 1 et 1 n'est pas un polynôme de degré 2 : il n'appartient donc pas à D.
Donc ce n'est pas un sous-espace vectoriel car il n'est pas stable par l'addition (?)

Alors, revenons-en à la définition d'un espace vectoriel :

Un espace vectoriel est un corps commutatif muni d'une loi interne et d'une loi externe tel que :
1) L'élément neutre par la loi interne (usuellement d'addition) appartienne à ce corps
2) Ce corps soit une partie d'un autre espace vectoriel.
3) Il y ait stabilité par loi interne (addition de vecteurs entre eux) et par loi externe (multiplication de ces vecteurs avec un scalaire).

Il suffit que l'une de ces assertions ne soit pas vérifiée pour que le corps ne soit pas un espace vectoriel. Ici, on montre que 0 n'est pas un polynôme de degré 2. Bim, l'espace considéré n'est pas un espace vectoriel.

[Hypokâgne-use]

Alors, revenons-en à la définition d'un espace vectoriel :

Un espace vectoriel est un corps commutatif muni d'une loi interne et d'une loi externe tel que :
1) L'élément neutre par la loi interne (usuellement d'addition) appartienne à ce corps
2) Ce corps soit une partie d'un autre espace vectoriel.
3) Il y ait stabilité par loi interne (addition de vecteurs entre eux) et par loi externe (multiplication de ces vecteurs avec un scalaire).

Il suffit que l'une de ces assertions ne soit pas vérifiée pour que le corps ne soit pas un espace vectoriel. Ici, on montre que 0 n'est pas un polynôme de degré 2. Bim, l'espace considéré n'est pas un espace vectoriel.

Ah vu que 0 est l'élément neutre, et qu'il n'est pas un polynôme du deuxième degré, il n'appartient pas à D, et par conséquent D n'est pas un sous-espace vectoriel de R[X] ??

[jlb]

Ah vu que 0 est l'élément neutre, et qu'il n'est pas un polynôme du deuxième degré, il n'appartient pas à D, et par conséquent D n'est pas un sous-espace vectoriel de R[X] ??

tout bon! Ainsi, tu as deux arguments pour répondre à ta question: bien sur, un seul suffit mais bon, tu as comme cela une autre méthode au cas où...

[Hypokâgne-use]

Génial ! Donc en fait le -x²+x²+1 est un contre exemple finalement !
Merci beaucoup pour votre aide !!!

J'ai une dernière question qui me pose problème, celle-ci un peu plus difficile pour moi car je n'arrive pas à comprendre l'ensemble dont il est question, ni comment il faut procéder.

Soit ;) ;) R* ; on s'intéresse à l'ensemble noté F(;)) des endomorphismes de R^3 vérifiant l'égalité f;)f = ;)f

On considère l'élément f de F(;)).

a) Montrer : Im f = {x;)R^3 | f(x)= ;)x}
b) Montrer : Ker f ;) Im f = {0}
c) Montrer : Im (f-;)Id_E) ;) Ker f

[Sake]

Génial ! Donc en fait le -x²+x²+1 est un contre exemple finalement !
Merci beaucoup pour votre aide !!!

J'ai une dernière question qui me pose problème, celle-ci un peu plus difficile pour moi car je n'arrive pas à comprendre l'ensemble dont il est question, ni comment il faut procéder.

Soit R* ; on s'intéresse à l'ensemble noté F(;)) des endomorphismes de R^3 vérifiant l'égalité f;)f = f

On considère l'élément f de F(;)).

a) Montrer : Im f = {x;)R^3 | f(x)= x}
b) Montrer : Ker f Im f = {0}
c) Montrer : Im (f-;)Id_E) Ker f

Soit y appartenant à Im(f). Alors que doit vérifier ce vecteur ?

[Hypokâgne-use]

Soit y appartenant à Im(f). Alors que doit vérifier ce vecteur ?

Il existe un x;)R tel que y=f(x) ?

[Sake]

Il existe un x;)R tel que y=f(x) ?

Attention, x appartient à R³ (rappelle-toi dans quel espace on travaille !)

Maintenant, que vaut f(y) ?

[Hypokâgne-use]

Attention, x appartient à R³ (rappelle-toi dans quel espace on travaille !)

Maintenant, que vaut f(y) ?

Ah oui c'est vrai pardon !!!
[COLOR=DarkRed]f(y)=;)y ? :hein:[/COLOR]

Quel boulet !! C'est égal à f vu que y=f(x) : donc f(y)=f(f(x))=f;)f

[Sake]

Ah oui c'est vrai pardon !!!
[COLOR=DarkRed]f(y)=;)y ? :hein:[/COLOR]

Quel boulet !! C'est égal à f vu que y=f(x) : donc f(y)=f(f(x))=f;)f

Ben oui, au final ça donne bien f(y)=;)y. Donc Im(f) c'est l'ensemble des y tels que f(y)=;)y. Basta !

Passe à la question suivante

[Hypokâgne-use]

Ben oui, au final ça donne bien f(y)=;)y. Donc Im(f) c'est l'ensemble des y tels que f(y)=;)y. Basta !

Passe à la question suivante

J'ai pas bien compris ça :hein:

[Sake]

J'ai pas bien compris ça :hein:

y appartient à Im(f) cela veut dire qu'il existe un x dans R³ tel que f(x)=y

Alors f(y)=f(f(x))=fof(x)=lamda*f(x)=lambda*y

On a donc transformé (par équivalence, tu remarqueras) la définition de l'image d'un endomorphisme : "ensemble des y tels qu'il existe un x dans E pour lequel f(x)=y" en "ensemble des y qui satisfont f(y)=lambda*y"

[jlb]

y appartient à Im(f) cela veut dire qu'il existe un x dans R³ tel que f(x)=y

Alors f(y)=f(f(x))=fof(x)=lamda*f(x)=lambda*y

On a donc transformé (par équivalence, tu remarqueras) ??? la définition de l'image d'un endomorphisme : "ensemble des y tels qu'il existe un x dans E pour lequel f(x)=y" en "ensemble des y qui satisfont f(y)=lambda*y"

Salut, "par équivalence" je n'en mettrai pas ma main au feu!!!
Tu as montré Imf C {x de R^3/ f(x)=lamdax}

L'autre inclusion est simple car f est un endomorphisme donc pour x dans R^3 tel que f(x)=lambdax

on a x =f(x)/lambda =f(x/lambda) donc x appartient à Imf ( ici, le lambda non nul intervient pour diviser par lambda)

[jlb]

J'ai pas bien compris ça :hein:

Salut, l'idée est de montrer l'égalité demandée par double inclusion ie montrer que tous les éléments de Imf appartiennent à {x de R^3 tq f(x)=lambdax} et vice versa.

Tu considères donc un élément y de Imf et on cherche à montrer qu'il appartient à l'autre ensemble ie que y vérifie y appartient à R^3 et f(y)=lambday

Bon comme y appartient à Imf, il existe t de R^3 tq f(t)=y et comme f est un endomorphisme y appartient à R^3
De plus en utilisant la propriété de f , on f(y)=f(f(t)=lambdaf(t)=lambday

Donc au final, y appartient à R^3 et f(y)=lambday ie y appartient bien à l'ensemble recherché

( le x dans la définition de l'ensemble est "muet" tu peux le remplacer par n'importe quelle lettre, je pense que c'est cela qui te posait problème quand tu avais choisi x tq f(x)=y??)

On a don montré que Imf C {x de R^3 tq f(x)=lambdax} puisque n'importe quel élément du premier ensemble appartient à l'autre.

Il reste à montrer le "vice versa" ie {x de R^3 tq f(x)=lambdax} C Imf.
C'est assez facile, j'ai écris l'idée dans un post réponse précédent à Shake.
Bon courage.

[Sake]

Salut, "par équivalence" je n'en mettrai pas ma main au feu!!!
Tu as montré Imf C {x de R^3/ f(x)=lamdax}

L'autre inclusion est simple car f est un endomorphisme donc pour x dans R^3 tel que f(x)=lambdax

on a x =f(x)/lambda =f(x/lambda) donc x appartient à Imf ( ici, le lambda non nul intervient pour diviser par lambda)

On a donc l'équivalence Qu'est-ce qui te gène si l'autre inclusion est triviale ?

[jlb]

On a donc l'équivalence Qu'est-ce qui te gène si l'autre inclusion est triviale ?

ce qui me gène, c'est "on a montré par équivalence, tu remarqueras" et qu'"on" a rien montré. :chaise: