Vrai/Faux en logique

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LuisFigo
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Vrai/Faux en logique

par LuisFigo » 13 Mai 2021, 15:25

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LuisFigo
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Re: Vrai/Faux en logique

par LuisFigo » 13 Mai 2021, 18:12

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GaBuZoMeu
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Re: Vrai/Faux en logique

par GaBuZoMeu » 13 Mai 2021, 19:58

Bonjour,

est un prédicat portant sur la variable libre . L'ensemble des réels tels que est .

est un autre prédicat portant sur la variable libre . L'ensemble des réels tels que est .

est également un prédicat portant sur la variable libre . L'ensemble des réels tels que est tout entier, L'énoncé est donc vrai dans .

est encore un prédicat portant sur la variable libre . L'ensemble des réels tels que est , Il est non vide, donc l'énoncé est vrai dans .

Ici on fait des mathématiques : le connecteur a un fonctionnement bien précis selon les règles de la logique mathématique.
On peut disserter sur les différents sens de "implique" ou de "Si ... alors ..." dans le langage naturel, mais c'est un autre sujet.

Vassillia
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Re: Vrai/Faux en logique

par Vassillia » 13 Mai 2021, 22:07

Bonjour, une autre manière de voir les choses, est équivalent à en logique classique.
Pour l'exercice, j'essaye de le retrouver par le calcul des séquents https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_des_s%C3%A9quents histoire de s'en convaincre et car j'ai appris à faire ça récemment. Je trouve que c'est amusant mais tu as le droit de zapper ;)

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_______________
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Si je reprends ton exemple :
est équivalent à ou , c'est à dire
est équivalent à ou , c'est à dire

PS GaBuZoMeu, tu sais ce que ça donne en logique intuitionniste ? Je n'arrive pas à comprendre ce qui est encore valable ou pas mais cela m'étonnerait qu'on puisse traduire en sans le tiers exclu.

GaBuZoMeu
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Re: Vrai/Faux en logique

par GaBuZoMeu » 13 Mai 2021, 23:45

On n'a pas équivalence en logique intuitionniste. Pour voir ce qui se passe en calcul propositionnel intuitionniste, on prend des valeurs de vérité qui sont des ouverts d'un espace topologique. Si est la valeur de vérité de et celle de ,
la valeur de vérité de est la réunion de et de l'intérieur du complémentaire de ,
la valeur de vérité de est l'intérieur de la réunion de et du complémentaire de .
Je te laisse voir qu'il y en a un qui est toujours inclus dans l'autre, mais qu'il y a des contre-exemples à l'inclusion inverse.

Vassillia
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Re: Vrai/Faux en logique

par Vassillia » 14 Mai 2021, 01:29

Ok, j'ai compris, une union d'intérieurs est toujours inclus dans l'intérieur de l'union mais on n'a pas l'inclusion inverse (contre exemple et )
Donc on devrait avoir normalement.
Je ne sais pas trop pourquoi la topologie débarque dans l'histoire mais je vois enfin pourquoi on ne peut plus utiliser le tiers-exclu, il manque la frontière.
Merci, c'est nettement plus pratique pour s'y retrouver que d'essayer des démonstrations intuitionnistes sans avoir plusieurs termes à droite des séquents.

LuisFigo
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Re: Vrai/Faux en logique

par LuisFigo » 14 Mai 2021, 02:29

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LuisFigo
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Re: Vrai/Faux en logique

par LuisFigo » 14 Mai 2021, 02:34

Dans le sens mathématique usuel, une propriété de la forme « Si A alors B » est vraie lorsque A « implique » B, c'est-à-dire lorsque « il y a une démonstration qui mène de A à B».
On note alors parfois cela de façon usuelle : « A => B » le symbole « => » représentant alors le raisonnement valable (ou le chemin) qui mène de A à B.

Par exemple :
« x>2 => x^2>4 » où => remplace le raisonnement valable (ou le chemin) ci-dessous :
x>2 => x-2>0 => (x-2)(x+2)>0 => x^2-4>0 => x^2>4

Maintenant,
Choisissons un x : x=5
l'hypothèse (5>2) étant vraie et le raisonnement étant valable, la conclusion (5^2>4) sera vraie.
5>2 => 5^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de 5>2 le raisonnement mène bien à 5^2>4

5>2 => 5^2<4 (ou tout autre conclusion fausse) est « faux » au sens où
si l'on part de 5>2 le raisonnement ne mène pas à 5^2<4

Pour x=-3
l'hypothèse (-3>2) est fausse, mais le même raisonnement toujours valable mène à (-3)^2>4 qui est vraie.
-3>2 => (-3)^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de -3>2 le raisonnement mène bien à (-3)^2>4

Pour x=-1
l'hypothèse (-1>2) est fausse, le même raisonnement toujours valable mène à (-1)^2>4 qui est fausse.
-1>2 => (-1)^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de -1>2 le raisonnement mène bien à (-1)^2>4

Maintenant en logique :
Le symbole => est uniquement un connecteur, et pas toujours un raisonnement valable.
« Faux => P » , ne signifie pas forcément qu'il existe un raisonnement qui mène de Faux à P, dire « Faux implique P » au sens usuel est abusif !

La logique se passe d'une démonstration systématique et décrète : « Faux implique P » est toujours Vrai, c'est donc un axiome (ou une convention si on veut).
Donc la table de vérité logique de l'implication A => B (au sens du connecteur) est définie en reprenant le sens usuel (pour les deux premiers cas) et en appliquant l'axiome précédent (pour les deux derniers) :

A | B | A=>B
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Et c'est la même table que « nonA ou B » donc on peut définir A=>B comme « nonA ou B ».

Donc en logique : 2=50 => pi=92,5 est vrai ne signifie pas "il existe une démonstration" qui mène de 2=50 à pi=92,5. Ça veut juste que si à un moment donné on a 2=50 et pi=92,5 alors on s'autorise par l'axiome (ou par convention) de passer de l'un à l'autre.

Ce dernier exemple nous montre que, "A=>B est vrai" en logique n'est pas toujours chargé de sens, ça signifie juste le passage de l'un à l'autre est autorisé ou valable (voilà j'ai trouvé des mots pour remplacer vrai) par axiome (ou par convention) comme dans un circuit électronique ou un programme informatique.
Mais ça n'est pas toujours le vrai mathématique usuel.

Donc, au sens usuel A=>B est :
vraie : signifie « il existe une démonstration »
fausse : signifie « il existe un contre-exemple »
et parfois ni l'un ni l'autre

Et, au sens logique A=>B est :
vrai : signifie « le passage de l'un à l'autre est autorisé ou valable (et parfois par axiome ou convention) »
faux : signifie « le passage de l'un à l'autre n'est pas autorisé ou valable »
et il n'y a aucune autre alternative

Fin.

Vassillia
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Re: Vrai/Faux en logique

par Vassillia » 14 Mai 2021, 04:01

Malgré tout le respect que je te dois, du moins à priori, je vais me permettre de recadrer un peu la situation. Le langage naturel ou usuel est beaucoup plus soumis aux interpretations contextuelles que le langage mathématique et alors ? Il n'y a aucun problème donc aucune question à esquiver donc ta solution n'intéresse personne de raisonnable. C'est une suite de conséquences logiques et tout le monde peut le comprendre, toi y compris je suis sûre. Dans ton propre intérêt, je te conseille de passer à autre chose sans t'inquiéter pour les étudiants, les profs s'en occupent, chacun son métier.

Si je me permets d'être aussi catégorique, c'est que j'ai suivi les discussions sans fin sur d'autres forums. Tu vas dans le mur systématiquement, la sagesse voudrait que tu changes de méthode. Soit tu fais des maths et tu acceptes les axiomes utilisées en logique. Les théories qui en découlent sont cohérentes et aident au raisonnement y compris dans la vie réelle. Soit tu ne fais pas de maths, tu as le droit, mais c'est insensé de s'enteter à communiquer sur des forums de maths. A toi de choisir mais tu n'arriveras à convaincre aucun matheux qu'il y a un problème juste parce que toi tu ne comprends pas.
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LuisFigo
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Re: Vrai/Faux en logique

par LuisFigo » 14 Mai 2021, 04:33

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LuisFigo
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Re: Vrai/Faux en logique

par LuisFigo » 14 Mai 2021, 04:36

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LuisFigo
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Re: Vrai/Faux en logique

par LuisFigo » 14 Mai 2021, 04:38

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LuisFigo
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Re: Vrai/Faux en logique

par LuisFigo » 14 Mai 2021, 04:42

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Vassillia
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Re: Vrai/Faux en logique

par Vassillia » 14 Mai 2021, 04:51

Pas de souci pour moi, je disais cela pour te faire prendre un peu de recul et te permettre d'avoir une discussion intéressante mais je m'abstiendrai dans l'avenir de te donner des conseils et même de te répondre serieusement. Bonne continuation

PS : Pour faire rire les lecteurs et qu'ils comprennent ma réaction https://www.ilemaths.net/sujet-verite-en-logique-868693.html

LuisFigo
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Re: Vrai/Faux en logique

par LuisFigo » 14 Mai 2021, 05:12

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Vassillia
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Re: Vrai/Faux en logique

par Vassillia » 14 Mai 2021, 05:36

J'ai juste remplacé définitions par axiomes car à mon avis ton problème vient de là plutôt que de la définition du =>
Mais tu as raison, je suis terrifiée, un nouvel huluberlu venu d'internet met en danger mes certitudes sur le fait que nous sommes une espèce sociale et intelligente. Comment je vais me remette de ce traumatisme ? En me marrant comme toutes les fois où j'en ai croisé, allez comme je suis sympa, un forum où tu devrai être reçu comme un roi http://dlz9.forumactif.com

beagle
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Re: Vrai/Faux en logique

par beagle » 14 Mai 2021, 10:16

Bonjour LouisFigo,
ne supprime pas ton compte, tu mets le doigt sur un vrai problème :
c'est quoi A implique B
c'est quoi "Si A alors B"
C'est quoi en langage commun
c'est quoi en langage mathématuque d'un collégien-lycéen
c'est quoi en langage mathématique des logiciens

Il se trouve que les notions mathématiques que l'on apprend sont censées s'enrichir au fur et à mesure des années et de l'augmentation du bagage mathématique,
or avec l'implication ou au moins sa présentation aux jeunes étudiants, on a vraiment l'impression d'une rupture. donc c'est lié à quoi.
Vassilia t'a indiqué un bon forum, j'ai commencé un fil de discussion sur l'implication au lycée.
J'ai discuté de l'implication telle que je l'avais apprise il ya plusieurs décennies sur maths forum des heures et des heures. Le sujet n'est pas épuisé pour moi dans la mesure où je ne suis toujours pas convaincu.

Je détaillerai plus tard.
Je vais mettre un lien qui parle , peut-être de ce soucis.
Je suis intéressé par le cours dont tu as parlé sur ce sujet.
Il ya bien matière à débattre …
a plus

GaBuZoMeu
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Re: Vrai/Faux en logique

par GaBuZoMeu » 14 Mai 2021, 10:58

Y a-t-il vraiment matière à polluer tous les forums mathématiques possibles ?
Le sujet n'est pas épuisé pour moi dans la mesure où je ne suis toujours pas convaincu.

Convaincre de quoi ?


beagle
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Re: Vrai/Faux en logique

par beagle » 14 Mai 2021, 12:24

Une partie des interrogations de LuisFigo porte sur la logique
et on peut le renvoyer sur la dernière et excellente mise au point de CC sur lesmathématiques.net
http://www.les-mathematiques.net/phorum ... 43,2241078
et ou répondre à ses interrogations

Une autre partie des interrogations deLuisFigo pourrait avoir un lien avec ceci:
http://georges-barthélemy.fr/implication_logique_mathématiques.pdf

Donc dire il ya le "si A alors B" des mathématiques et c'est celui des logiciens avec l'implique
ou le "si A alors B " du langage commun
me semble un peu court
Il ya le "si A alors B" de l'étudiant au collège lycée qui n'est déjà plus le langage commun,
et certainement pas encore celui du logicien.
S'agissant de dire le "si A lors B" du scientifique est celui du mathématicien logicien,
alors là aussi il ya certainement à causer...

 

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