Quelques proposition sur l'intégration : vrai/faux

[Mikihisa]

Salut !
J'ai un petit vrai /faux sournois ! Il concerne l'intégration au sens de Riemann, et il y a quelques proposition qui me pose problème :

2) Si f est intégrable sur [a;b], pour tout x de [a;b].
4) Si f est intégrable sur [a;b], alors |f| est intégrable sur [a;b].
6) Si f et g sont des fonctions intégrables sur [a;b], alors la fonction fg est intégrable.
8) Soit f la fonction définie sur [0;1] par
sur

Où est une suite de réels bornée. Alors f est intégrable.
12) Si f est croissante sur [a;b], elle est intégrable sur [a;b] et de plus est croissante.


2) En fait j'ai dit faux car il faut que f soit continue, mais j'ai un doute.
4) J'ai dit que si f est intégrable elle a un nombre fini de pts de discontinuités donc |f| également et donc |f| est intégrable mais j'ai un peu l'impression de tricher, mais j'ai pas réussi en passant par la définition.
6) pareil que 4)
8) j'ai du mal a comprendre la notation, ils veulent dire que f(x)=lambda en fait ! Si c'est ça j'ai du mal car alors f n'est vraiment définie sur ]0;1/2^n[
12) j'ai réussi a montrer que f est intégrable, mais je crois pas que F soit forcément croissante, avec x<y on a F(y)-F(x) = qui peut toutafé être négatif si par exemple f est négative sur [x;y]


Voilà si vous pouviez un peu éclairez ma lanterne surtout pour 4) 6) et 8) ça serait super cool !

Cordialement.

[arnaud32]

2)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27analyse

[Mikihisa]

Justement il faut que f soit continue ! Or on ne sait pas si elle l'est.

[zygomatique]

salut

6) prend sur l'intervalle [0, 1] ....

[Mikihisa]

? La fonction 1/sqrt(x) n'est pas définie sur [0;1]

[zygomatique]

elle est intégrable sur l'intervalle [0, 1] ...

[Mikihisa]

C'est pas instinctif même si je vois bien ou tu veux en venir. C'est quand même bizzare, comment trouver une fonction en escalier qui soit > 1/sqrt(x) sur [0:1] vu que la fonction tend vers l'infini en 0 ?

[Mikihisa]

Une fonction en escalier qui tend elle aussi vers l'infini en 0 mmmh

Sinon je vois bien 1/x n'est pas intégrable sur [0;1] blablaa

[Mikihisa]

Enfait j'ai du mal a comprendre pourquoi 1/sqrt(x) serait integrable et pas 1/x, si ce n'est parceque la primitive de 1/sqrt(x) est sqrt(x) et donc que ça marche bien, tandis que ln(x) marche pas.

[fatal_error]

slt,

d'apres http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_impropre
pour x^(-0.5)
ben tu intègre de X à 1 mettons, donc puis tu fais tendre x vers 0

ps:pour 4)
f integrable n'implique pas |f| integrable (le contraire ui)
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/intimp/intimp_ch03/co/apprendre_ch3_02.html

(pour info lexemple pris c'est le sinus integral Si(x) http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html)

[Mikihisa]

Pour 4 c'est effectivement l'inverse que je voulais dire ( yavais les deux sur le questionnaire). J'avais pris la fonction caractéristique de Q qui vaut 1 si x est rationnel et -1 sinon pour contre exemple.

[Mikihisa]

Bah sii c'est ça |f| est intégrable mais pas f :/

D'ailleurs dans le lien que tu link il utiliser la contraposer non ? |f| n'est pas intégrable donc f n'est pas intégrable ( contraposer de f intégrable => |f| intégrable )

[Mikihisa]

Quoiqu'il en soit enfait avant même sur tu me link le wiki j'avais bien compris qu'il s'agissait d'integrale impropre même si je n'ai pas encore vu ça. Mais du coup 1/sqrt est peut être intégrable, mais pas au sens de Riemann si ?

[fatal_error]

Bah sii c'est ça |f| est intégrable mais pas f :/

Ouais mais on s'en tape de savoir si |f| integrable implique f integrable.
Toi (enfin l'exo) veut savoir si f integrable implique |f| integrable.
Et ben non ca implique pas, paske si il existe au moins une fonction (sin(x)/x) qui est integrable mais pas absolument integrable.

Si jamais tu veux demontrer l'autre sens tu peux utiliser http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Absolutely_integrable_function
(le passage avec Jensen, j'aurais bien écrit l'ineg triangulaire, en récrivant l'intégrale comme somme de termes..mais chui pas sur d'avoir le droit)

enfin

Mais du coup 1/sqrt est peut être intégrable, mais pas au sens de Riemann si ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_impropre
de fait nan. vu que ya une borne en laquelle la fonction n'a pas de limite finie.

[adrien69]

de fait nan. vu que ya une borne en laquelle la fonction n'a pas de limite finie.

Hum... Ça c'est pas le bon argument...


1/sqrt(x) c'est intégrable au sens Lebesgue sur ]0,1].

[Mikihisa]

En fait j'ai réussi a le montrer.

Si f est R-intégrable, pour e>0 on a une approximation
Or donc |f| est R-intégrable.

Quant a 6) j'ai trouver la propriété dans mon cours. Il utilise la encore l'intégration par approximation.

f et g sont R-intégrable sur [a;b] donc bornée.
Soit M tel que |f|<M et |g|<M.
Soit en escalier telles que



On suppose que ( j'ai pas réussi a le prouver, mais j'ai pas vraiment insister )
On a donc:

On pose et on a une approximation de fg :


Si vous savez m'indiquer rapidement pourquoi supposer |phi1|<M est cohérent je suis preneur, la preuve serai alors complète.


L'auteur du poly signale également que cette preuve marche car f et g sont bornée par le fait qu'elles soient R-intégrable et que dans le cadre d'integrales plus générales il faut supposer que l'une fes deux fonction est bornée.



Ps: en fait la propriété qui m'intéressait vraiment était la 8), mais personne en a parler .

[wserdx]

Salut !
J'ai un petit vrai /faux sournois ! Il concerne l'intégration au sens de Riemann, et il y a quelques proposition qui me pose problème :

2) Si f est intégrable sur [a;b], pour tout x de [a;b].
4) Si f est intégrable sur [a;b], alors |f| est intégrable sur [a;b].
6) Si f et g sont des fonctions intégrables sur [a;b], alors la fonction fg est intégrable.
8) Soit f la fonction définie sur [0;1] par
sur

Où est une suite de réels bornée. Alors f est intégrable.
12) Si f est croissante sur [a;b], elle est intégrable sur [a;b] et de plus est croissante.


2) En fait j'ai dit faux car il faut que f soit continue, mais j'ai un doute.
4) J'ai dit que si f est intégrable elle a un nombre fini de pts de discontinuités donc |f| également et donc |f| est intégrable mais j'ai un peu l'impression de tricher, mais j'ai pas réussi en passant par la définition.
6) pareil que 4)
8) j'ai du mal a comprendre la notation, ils veulent dire que f(x)=lambda en fait ! Si c'est ça j'ai du mal car alors f n'est vraiment définie sur ]0;1/2^n[
12) j'ai réussi a montrer que f est intégrable, mais je crois pas que F soit forcément croissante, avec x<y on a F(y)-F(x) = qui peut toutafé être négatif si par exemple f est négative sur [x;y]


Voilà si vous pouviez un peu éclairez ma lanterne surtout pour 4) 6) et 8) ça serait super cool !

Cordialement.

Bonjour,
Tu as bien précisé que le sujet concerne l'intégration au sens de Riemann. Quelle définition utilises-tu?
Si f est R-intégrable sur [a;b] alors f est continue sur [a;b] sauf au plus en un nombre dénombrable de points. Alors pour tout x de [a;b] qui est un point de continuité de f.
Pour 4) et 6), de manière générale tu peux montrer que pour une famille de fonctions toutes Riemann intégrables sur [a;b], alors toute combinaison linéaire finie de ces fonctions, tout produit d'un nombre fini de ces fonctions, le max et min d'un nombre fini de ces fonctions, sont Riemann-intégrable.
En particulier si f est Riemann intégrable, comme |f| = max(f,0) - min(f,0), |f| est donc aussi Riemann intégrable.
pour 8) f est une fonction en escalier définie par un nombre infini dénombrable d'intervalles. Tu peux encadrer f par exemple par deux suites de fonctions en escaliers et
qui coïncident sur avec f et qui valent respectivement et sur .
Montre alors que les deux suites des intégrales encadrantes convergent vers la même limite

Les deux contre-exemples : et sont des intégrales impropres. On ne peut donc pas leur appliquer les résultats valables pour les intégrales de Riemann.

[Mikihisa]

La définition que j'ai : f est R-intégrable si pour tout e>0 il existe deux fonction phi et psi en escalier telles que phif est R-intégrable si pour tout e>0 il existe phi et psi en escalier tels que |f-phi|
Pour d/dx j'avais compris la subtilité, pour 6) et 8) j'ai réussi avec les définition cité plus haut, et pour 8) je vais voir ce que je peux faire, j'suis passer au chapitre suivant sur les série en fait :p. Merci pour tes éclaircissement en tous cas !

Et oui je trouve ça bizzare de faire les série après le integrale m'enfin...