Un vrai ou faux

[vnc456]

oui je suis d'accord la dessus il existe x non nul tq f(x)=5x

[vnc456]

J'ai fait quelque chose pour la 7:

Soit a valeur propre de A et u vecteur propre associé alors Au=a

donc

est ce correct??

[vnc456]

up?????????

[Skullkid]

Ok pour la 7. Pour la 5, il existe x non nul tel que f(x) = 5x. Et f°(f-id) = 0, donc...

[vnc456]

Pour la 5) peut être sire que f(f-Id)(x)=0 <=>f^2(x)-f(x)=0 <=> 25x -5x =0 impossible car x non nul (vecteur propre donc f-5Id est inversible

Une idée pour la 6)

[Skullkid]

Ok pour la 5. La 6 ça va être un peu pareil, quelles sont les valeurs propres de f ?

[vnc456]

Bon par un long calcul j'ai trouvé les valeurs propres 2 et 3 le problème est que 3 est double et je n'ai pas utilisé l'hypothèse (f-2Id)o(f-3Id) != 0 je ne sait pas comment l'utilisé

[Skullkid]

Un long calcul... ? Tu peux me montrer comment tu as obtenu les valeurs propres ? Et ça veut dire quoi "3 est double" (il y a plusieurs notions différentes de multiplicité d'une valeur propre) ?

[vnc456]

en faite j'ai développé (f-2Id)o(f-3Id)^2(x)=0 <=>f^3(x)-8f^2(x) + 21f(x) - 18x=0 après j'ai dit que x est vecteur propre associé la valeur propre a ce qui me donne

x*(a^3-8a^2+21a-18)=0 x non nul on résous le polynôme et on trouve 2 et 3 j'ai dit double pour 3 car j’obtiens (a-2)(a-3)^2 donc j'en ait déduit que la multiplicité de la valeur 3 est égale à 2

[Skullkid]

Donc, pour résoudre l'équation (x-2)(x-3)² = 0, tu l'as développée... c'est pas très efficace comme résolution :/

J'ai compris que tu voulais dire que la multiplicité de la valeur propre 3 était 2, mais je te demande ce que tu entends précisément par là. Comme je t'ai dit, il y a plusieurs façons d'interpréter ce terme de "multiplicité", donc je te demande ce qu'est, pour toi, la multiplicité d'une valeur propre d'un endomorphisme.

[vnc456]

donc pour moi cela veut dire que dans la matrice diagonale ou triangulaire il y aura 2 fois cette valeur sur la diagonale

[Skullkid]

Ok, donc c'est faux. Par exemple, la matrice vérifie bien (A-2I)(A-3I)² = 0, mais 3 apparaît 3 fois sur la diagonale.

L'égalité donnée te permet juste de trouver le spectre de ton endomorphisme, mais pas les multiplicités (enfin, pas celles auxquelles tu penses, qui sont ce qu'on appelle les multiplicités algébriques). Pour l'instant tu as prouvé que si f a des valeurs propres, alors elles appartiennent à {2,3}. Pourquoi affirmes-tu que, réciproquement, 2 et 3 sont bien des valeurs propres de f ?

Une fois que tu auras fini ça, tu peux raisonner par l'absurde, comme pour la 5.

[vnc456]

Je ne sait pas je pensait que c'était équivalent donc à priori non il doit y avoir un propriété je ne vois pas du tout

[Skullkid]

Y a beaucoup de pièges possibles quand on fait de la réduction d'endomorphismes, on est souvent tenté de déduire un truc faux donc faut faire attention. Ici, rien ne te dit que 2 et 3 sont valeurs propres. Par exemple, vérifie l'énoncé mais 2 n'est pas valeur propre. Tout ce que tu peux déduire de l'énoncé c'est que le spectre de f est inclus dans {2,3}, et qu'au moins l'une de ces deux valeurs est effectivement valeur propre (si ce n'était pas le cas, f-2id et f-3id seraient tous deux inversibles, et il serait impossible d'avoir (f-2id)°(f-3id)² = 0).

Bref, tu peux partir sur un raisonnement par l'absurde : si f était diagonalisable, qu'est-ce qui se passerait ?

[vnc456]

Si f est diagonalisable si la dimension des sous espace propre est égale a l'ordre de multiplicité des valeur propres associée mais on a pas les dimension donc je ne voit pas comment s'en servir

après il y a f est diagonalisable ssi l'espace vectoriel E est la somme directe des sous espaces propres de f la non plus je ne voit pas comment utiliser cela

et la troisieme condition nécessaire et suffisante qu'on a dans le cour f est diagonalisable <=>A=PDP^-1 je ne vois pas laquelle prendre

[Skullkid]

Tu cherches trop compliqué. C'est quoi la définition de "endomorphisme diagonalisable" que tu as dans ton cours ?

[vnc456]

définition : On dit qu'un endo est diagonalisable quand il existe une base sur laquelle sa matrice est diagonale

[Skullkid]

Voilà, c'est-à-dire qu'il y a une base de vecteurs propres de f. Utilise ça.

[vnc456]

Peut être que : f est semblable à D sur une base de vecteur propres avec sur la diagonale des 2 ou 3 donc :

f-3id ne va laisser que des -1 et des 0 et f-2Id ne va laisser que des 1 ou des 0 mais ce qui est important c'est que les 1 ou -1 (s'il il y en a) pour (f-2id) seront des 0 pour (f-3Id) donc le produit des 2 sera égale à zéro donc faux

est-ce correct?

[Skullkid]

Voilà, tu as l'idée. Par contre si jamais tu devais rédiger une réponse, il faudrait la formuler de façon un peu plus rigoureuse ^^