Un vrai ou faux

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vnc456
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un vrai ou faux

par vnc456 » 26 Nov 2011, 22:20

Bonsoir à tous!! J'ai un exercice avec des propositions et je doit dire si elles sont vraie ou fausse.

Voici l'énoncé :

1) Toute matrice diagonalisable et à valeur propres strictement négative est inversible

j'ai dit soit A la mtrice et D sa forme diagonale det(A)=det(D) et pour une matrice diagonale le determinant est le produit des termes de sa diagonales soit les vp et comme vp <0 alors det(A)!=0 donc inversible. J'hésite à faire que det(A)=det(P*D*P^-1)=det(p)*det(p^-1)*det(D)=1*det(D).
Est ce que je peut directement dire det(A)=det(D)

2)Il existe une seule A appartient Mn(C) diagonalisable et ayant 3 comme unique valeur propre

Je ne sait pas du tout quoi faire

3) Un endomorphisme de rang 1 ayant une valeur propre égale à 2 est toujours diagonalisable.

J'ai envie de dire non mais je ne trouve pas de contre exemple

4)S'il existe une base de E formée de vecteur qui sont vecteurs propres à la fois de f et de g alors f(g)=g(f)

5)Si f vérifie f(f-Id)=0 alors f-5Id est inversible

6) Si f vérifie (f-2Id)o(f-3Id) != 0 et (f-2Id)o(f-3Id)^2=0 alors il est diagonalisable

7)Soit A appartient Mn(C) de valeur propres v1,...,vn alors les valeur propres de A^3 sont
(v1)^3,..,(vn)^3

J'ai vraiment besoin d'aide merci d'avance



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fatal_error
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par fatal_error » 27 Nov 2011, 09:27

salut,

pour la 2)
si 3 est unique valeur propre, alors le pol caractéristique en lambda est (lambda-3)^n = 0
tu peux poser A la matrice diagonale dont la diago contient 3.
Quand tu choppes le determinant, tas donc (3-lambda)^n, (et tu ajustes a peu de choses pres les coeff négatifs de la diago) pour retrouver (lambda-3)^n

pour 1) det(A)=det(D) suffit pour dire que si det(D)>0, alors A est inversible. Apres sil faut démontrer det(A)=det(D), je sais pas :D
la vie est une fête :)

Skullkid
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par Skullkid » 27 Nov 2011, 11:02

Salut, pour la 1 c'est ok, normalement c'est une propriété du cours que deux matrices semblables ont même déterminant.

Pour la 2, A est diagonalisable et a 3 pour seule valeur propre. Quelle est donc sa réduite diagonale ? Conclusion ?

Pour la 3, A est de rang 1, qu'est-ce que ça implique pour son noyau ?

Pour la 4, tu y verras peut-être plus clair si tu écris les matrices de f et g.

Pour la 5 et la 6, pense aux polynômes annulateurs et aux liens entre eux.

Pour la 7, commence par traduire l'énoncé.

vnc456
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par vnc456 » 27 Nov 2011, 12:06

merci pour vos reponse
Pour la 2) je comprend pas trop D la matrice diagonale de A avec que des 3 sur la diagonale comment je peut en déduire que A est unique on ne peut pas avoir deux matrices qui sont semblable à une meme matrice diagonale?

vnc456
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par vnc456 » 27 Nov 2011, 12:11

Pour la 3) dim kerf= n-1 ce qui veut dire 0 est vp mais je ne sait pas si il y a d'autre valeur propre ni l'odre de multiplicité de celle ci comment vérifier le critere de diagonalisation

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par Skullkid » 27 Nov 2011, 12:36

vnc456 a écrit:merci pour vos reponse
Pour la 2) je comprend pas trop D la matrice diagonale de A avec que des 3 sur la diagonale comment je peut en déduire que A est unique on ne peut pas avoir deux matrices qui sont semblable à une meme matrice diagonale?


Oui, en général on peut avoir plein de matrices différentes semblables à la même matrice. Mais ici on ne parle pas de n'importe qui. Ça veut dire quoi être semblable à la matrice avec que des 3 sur la diagonale (matrice qu'on appelle usuellement 3I) ?

vnc456 a écrit:Pour la 3) dim kerf= n-1 ce qui veut dire 0 est vp mais je ne sait pas si il y a d'autre valeur propre ni l'odre de multiplicité de celle ci comment vérifier le critere de diagonalisation


Tu sais que dim ker f = n-1 (ce qui est bien plus précis que "0 est valeur propre" !) et que 2 est valeur propre. Ça te donne combien de vecteurs propres indépendants ?

ffpower
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par ffpower » 27 Nov 2011, 12:46

vnc456 a écrit:merci pour vos reponse
Pour la 2) je comprend pas trop D la matrice diagonale de A avec que des 3 sur la diagonale comment je peut en déduire que A est unique on ne peut pas avoir deux matrices qui sont semblable à une meme matrice diagonale?



P^{-1}AP=3Id => A=...?

vnc456
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par vnc456 » 27 Nov 2011, 12:48

Pour la 2) oui effectivement je n'avais pas vu : A=PDP^-1 <=> A=P*3Id*P^-1 <=> A=3Id*PP^-1=3Id
car Id commute avec toutes les matrice donc A est unique et est égale à 3Id

Pour la 3) je pense avoir saisi :
dim kerf=n-1 ce qui veut dire que m(=l’ordre de multiplicité de la vp 0) est supérieur à n-1 mais 2 est valeur propre donc m=n-1 et 2 est simple donc d’après le critère de diagonalisation l'endo est diagonalisable est-ce correct

ffpower
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par ffpower » 27 Nov 2011, 12:49

correct pour les 2

vnc456
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par vnc456 » 27 Nov 2011, 12:51

merci à vous!!

vnc456
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par vnc456 » 27 Nov 2011, 13:15

Pour la 4)

Soit A matrice de f et B matrice de g je doit montrer que A*B=B*A est e que je peut dire que les 2 matrices sont trigonalisable et que A=PTP^-1 et B=PT'P^-1 A*B=PTT'P^-1 et B*A=PT'TP^-1 il suffit de montrer que T et T' commute mais je ne vois pas comment

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par Skullkid » 27 Nov 2011, 14:20

Relis bien tes hypothèses. Il existe une base formée de vecteurs qui sont à la fois propre pour f et pour g. Et souviens-toi que pour deux applications linéaires soient égales, il suffit qu'elles soient égales sur une base de l'espace de départ.

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par vnc456 » 27 Nov 2011, 15:00

oui c'est bon j'ai réussi merci et pour la 5) vous m'aviez donné comme conseil le polynôme annulateur mais en cour on a pas vu ce que c'est

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par Skullkid » 27 Nov 2011, 15:13

Ok, dans ce cas traduis ce que veut dire que f-5id est inversible, en termes de vecteurs/valeurs propres.

vnc456
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par vnc456 » 27 Nov 2011, 15:23

si j'utilise ce qu'on a fait en cour f-5Id est inversible donc det(f-5Id) != 0 donc 5 n'est pas valeur propre mais je ne sait pas quoi en faire

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par Skullkid » 27 Nov 2011, 15:31

Oui, donc il s'agit de savoir si le fait que (l'écriture f(f-id) n'est pas hyper correcte : f ne s'applique pas à f-id) implique que 5 n'est pas valeur propre. Y a un type de raisonnement qui se prête assez bien à "montrer que machin n'est pas...".

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par vnc456 » 27 Nov 2011, 15:59

le raisonnement par labsurde? je ne vois vraiment pas

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par Skullkid » 27 Nov 2011, 16:01

Oui voilà : suppose que 5 est valeur propre. Qu'est-ce que ça veut dire ?

vnc456
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par vnc456 » 27 Nov 2011, 16:06

5 vp <=> f-5Id n'est pas inversible mais quel est le lien avec f(f-Id)

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par Skullkid » 27 Nov 2011, 16:14

Réfléchis un peu... Quand y a une valeur propre y a un vecteur propre qui va avec.

 

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