Variables aléatoires à densité

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Florix
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Variables aléatoires à densité

par Florix » 15 Jan 2007, 17:53

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre cet énoncé :

On considère deux variables aléatoires réelles X0 et X1 définies sur le même espace probabilisé (omega, A, P), indépendantes et de même loi. Pour tout w de omega, on considère le plynome Qw d'indéterminée y défini par :

Qw(y) = y^2 + X1(w)y + X0(w)

On désigne par M(w) le nombre de racines réelles de Qw

1. Montrer que l'application M à qui tout w de oméga associe M(w) est une variable aléatoire définie sur oméga, t, p --> Ici je vois pas comment faire, ne pouvant ni appliquer le théorème de transfert, ni vérifier les propriétés d'une densité (f>0, f continue et intégrale de f converge vers 1)

2. Soit Z une VAR qui suit une loi de Bernouilli de paramètre p avec p appartient à ]0,1[. On suppose dans cette question que X0 et X1 suivent la même loi que 2Z - 1. Déterminer la loi de X0 et la loi de M. --> Alors là c'est le bide total, je vois absolument pas comment on fait et j'ai même une toute petite idée (ou alors j'ai oublié un théorème du cours )

Merci à tous ceux qui voudront bien m'aider

Florix



BQss
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par BQss » 15 Jan 2007, 18:11

Florix a écrit:Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre cet énoncé :

On considère deux variables aléatoires réelles X0 et X1 définies sur le même espace probabilisé (omega, A, P), indépendantes et de même loi. Pour tout w de omega, on considère le plynome Qw d'indéterminée y défini par :

Qw(y) = y^2 + X1(w)y + X0(w)

On désigne par M(w) le nombre de racines réelles de Qw

1. Montrer que l'application M à qui tout w de oméga associe M(w) est une variable aléatoire définie sur oméga, t, p --> Ici je vois pas comment faire, ne pouvant ni appliquer le théorème de transfert, ni vérifier les propriétés d'une densité (f>0, f continue et intégrale de f converge vers 1)

2. Soit Z une VAR qui suit une loi de Bernouilli de paramètre p avec p appartient à ]0,1[. On suppose dans cette question que X0 et X1 suivent la même loi que 2Z - 1. Déterminer la loi de X0 et la loi de M. --> Alors là c'est le bide total, je vois absolument pas comment on fait et j'ai même une toute petite idée (ou alors j'ai oublié un théorème du cours )

Merci à tous ceux qui voudront bien m'aider

Florix



Pour 1, M est a valeur dans [|0;2|]

on a M^-1(1)={w: y^2 + X1(w)y + X0(w) admette 1 seule solution dans R}
c'est a dire que la racine soit double.
Donc tel que Delta=0= X1(w)^2 - 4 X0(w):
soit {w: X1(w)^2 - 4 X0(w)=0} or X1 et X2 sont des variables aleatoires donc toute fonction continue de variable X0 et X1 est aussi une variable aleatoires, et donc l'ensemble tel que X1(w)^2 - 4 X0(w) =P(w)=0 soit en fait P^-1(0) est dans omega car P est une variable aleatoire.

Meme technique pour
M^-1(2)

et M^-1(0)


Au final quelque soit a appartient a [|0;2|] M-1(a) appartient a omega, c'est donc une variable aleatoire.
M est donc mesurable par rapport a la probabilité P definit sur la tribu omega.

Pour le 2 calcules la loi de 2z-1 en posant P(2z-1=k)=P(z=(k+1)/2) avec z qui suit une loi de bernoulli. si k=1 z=1 et donc P(2z-1=k)=p.
Si k=-1,z=0 et P(2z-1=k)=1-p
pour k different de 1 et -1 P(2z-1)=0.


Ensuite utilises la definition que je t'ai donné au 1:
pour m=1 par exemple:
P(m=1)=p(X1(w)^2 - 4 X0(w)=0)

BQss
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par BQss » 15 Jan 2007, 19:59

P(m=1)=P(X1(w)^2 - 4 X0(w)=0)

si tu vois pas comment calculer.
Il faut utiliser l'independance:

P(X1(w)^2 - 4 X0(w)=0)=P(X1(w)^2 = 4 X0(w))= somme(de k=0 à 1) (PX0=k)*P(X1^2=4k) = P(X0=1)*P(X1^2=4) + P(X0=0)*P(X1^2=0) =0
d'apres la loi qu'on a trouvé:

pour m=2 :
P(X1(w)^2 - 4 X0(w)>0)=P(X1(w)^2 > 4 X0(w))= somme(de k=0 à 1) (PX0=k)*P(X1^2>4k) = P(X0=1)*P(X1^2>4) + P(X0=0)*P(X1^2>0) =0 + (1-p)*1=1-p

pour m=0 ca donne:
P(X1(w)^2 - 4 X0(w)<0)=P(X1(w)^2 < 4 X0(w))= somme(de k=0 à 1) (PX0=k)*P(X1^2<4k) = P(X0=1)*P(X1^2<4) + P(X0=0)*P(X1^2<0) =p*1 + 0 =p


On retrouve bien que P(m=0) +P(m=1) + P(m=2) = 1

Florix
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par Florix » 17 Jan 2007, 00:40

:++: :++: Merci beaucoup BQss j'ai enfin compris ces deux questions (j'avoue que ça faisait depuis longtemps que je cherchais la solution !) :++: :++:

Tu as bien fait de mettre dans le deuxieme message le détail des calculs car en effet je n'avais pas compris !!!

En tout cas merci bcp ça m'aide énormement !

Florix
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par Florix » 17 Jan 2007, 00:42

PS : on trouve pas les meme résultats dans la question, mais j'ai vérifié les miens avec un prof de maths ! Car visiblement ta relation n'est pas bonne pour les valeurs différentes de -1 et 1. Si ça t'intéresse je peux mettre la solution !

En tout cas encore merci :++:

BQss
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par BQss » 17 Jan 2007, 01:48

P(X1(w)^2 - 4 X0(w)=0)=P(X1(w)^2 = 4 X0(w))= somme(de k=-1 à 1) (PX0=k)*P(X1^2=4k) = P(X0=-1)*P(X1^2=-4) + P(X0=1)*P(X1^2=4) =0
d'apres la loi qu'on a trouvé:

pour m=2 :
P(X1(w)^2 - 4 X0(w)>0)=P(X1(w)^2 > 4 X0(w))= somme(de k=-1 à 1) (PX0=k)*P(X1^2>4k) = P(X0=-1)*P(X1^2>-4) + P(X0=1)*P(X1^2>4) =1-p*1 =1-p

pour m=0 ca donne:
P(X1(w)^2 - 4 X0(w)<0)=P(X1(w)^2 < 4 X0(w))= somme(de k=-1 à 1) (PX0=k)*P(X1^2<4k) = P(X0=-1)*P(X1^2<-4) + P(X0=1)*P(X1^2<4) =0 + p =p

j'ai réecris les calculs en changeant somme de k= 0 à 1 en k=-1 à 1 car j'avais trouvé -1 et 1 et pas 0 et 1, j'ai fait ca assez rapidement, vu que j'etais en exam... Mais au final je trouve exactement la meme chose quand meme.

P(m=2)=1-p

P(m=0)=p

P(m=1)=0

avec p=P(z=0) et 1-p=P(z=1)






Si non un prof ne trouve pas pareille, tu veux dire ton prof de proba a la faculté?
Parce que si non ce n'est pas un critere, mon niveau en proba est superieur a celui d'un prof, les profs n'ont pas en general un niveau qui depasse les simes en proba, donc pas des connaissances au dela de la notion de densité et de variables aleatoire en generale, meme pour l'agreg ca va pas super loin le programme ou les exigences, meme s'ils abordent les notions de convergences en plus.

Mais oui si non biensur, on peut tous se tromper, je te dirai si je suis d'accord avec ta version et celle de ton "prof" ;). Ca m'interesse de voir ta version :id: .

Envoie donc :arme: :party: .

BQss
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par BQss » 17 Jan 2007, 01:57

Florix a écrit:PS : on trouve pas les meme résultats dans la question, mais j'ai vérifié les miens avec un prof de maths ! Car visiblement ta relation n'est pas bonne pour les valeurs différentes de -1 et 1. Si ça t'intéresse je peux mettre la solution !

En tout cas encore merci :++:


J'ai P(X0=-1)=1-p

et P(X0=1)=p

donc si on est d'accord la dessus comme P(X0=-1) +P(X0=1) = 1-p +p=1
On est forcement d'accord pour les autres valeures, leur probabilités ne peuvent que etre nulles... Oui montre moi ta version stp que je vois ou ca differe vraiment.

Et de rien pour l'aide , ca faisait plaisir de voir enfin des problemes de probas un peu interessant sur le forum, n'hesite pas si tu en as d'autre originaux comme celui la.

BQss
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par BQss » 17 Jan 2007, 02:33

Par exemple pour m=2:








Ou on a utilisé l'independance de X0 et X1

Florix
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par Florix » 17 Jan 2007, 02:43

BQss a écrit:
Envoie donc :arme: :party: .
LLLOOLLL :ruse: :technicol :fire:

On est toujours pas d'accord malgré tes nouveaux calculs ! Mais j'enverrais les miens demain parce que deja je maitrise pas le langage latex et donc par conséquent le temps que je tape tout on est pas rendu !!!

Ce que je peux dire déjà c'est que j'ai différencié les cas selon la parité de x :fan: !

J'ai la suite du problème aussi ! J'ai réussi quelques questions mais y'en a d'autres qui me dépassent ! :briques: :mur:

BQss
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par BQss » 17 Jan 2007, 02:47

Florix a écrit:LLLOOLLL :ruse: :technicol :fire:

On est toujours pas d'accord malgré tes nouveaux calculs ! Mais j'enverrais les miens demain parce que deja je maitrise pas le langage latex et donc par conséquent le temps que je tape tout on est pas rendu !!!

Ce que je peux dire déjà c'est que j'ai différencié les cas selon la parité de x :fan: !

J'ai la suite du problème aussi ! J'ai réussi quelques questions mais y'en a d'autres qui me dépassent ! :briques: :mur:

ecris ca sans latex si tu veux, il n'y a pas de probleme, je suis tres curieux de voir la version de ton prof.

BQss
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par BQss » 17 Jan 2007, 02:56

Florix, as tu trouvé la meme loi que moi pour X0 deja?
Et a priori la notion de parité n'a rien a voir avec le probleme, X0 et X1 ne prennent que la valeur 1 ou -1...

Bon j'ai cherché en long et en large, pour etre vraiment sur de n'avoir rien oublié.
La loi de Xo est evidemment juste.

L'interpretation de m est du niveau seconde, je crois que j'ai bon ;) :marteau: .

La somme pour calculer ensuite explicitement m=0,1 et 2 est ensuite completement juste( avec X0 et X1) independantes, j'ai juste partitionné l'ensemble.

Mes resultat sont de plus coherent car la somme des probabilité vaut 1.

Dis moi a quel endroit tu n'es pas d'accord deja, car tu ne me dis pas ou nos points de vue divergent, mais je crains fort qu'il faille revoir tes resultats, en respectant des appellations probabiliste, je ne dirai pas que je suis sur car le sur n'existe pas, mais je dirais que je suis P.S--> P(erreur)=0 :biere: .

BQss
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par BQss » 17 Jan 2007, 04:41

Bon, j'ai simplifié le probleme pour t'expliquer:


prenons m=2 par exemple:
on cherche a calculer la probabilité que X1^2-4X0 > 0

Soit X1=1 et X0=1 dans ce cas la on a 1-4 < 0 ca ne marche pas.
Soit X1=1 et X0=-1 dans ce cas la on a 5 > 0 ca marche.
Soit X1=-1 et X0=1 dans ce cas la on a -3 < 0 ca marche pas.
Soit X1=-1 et X0=-1 dans ce cas la on a 5 > 0 ca marche.

Au final il faut donc additionner la probabilité que X1=1 et X0=-1 avec
P(X1=-1 et X0=-1)
Soit vu l'independance (1-p)^2 + p(1-p) = 1+p^2-2p+p-p^2 = 1-p

Ce qui est ce que j'ai trouvé.

La partition d'ensemble est une methode un peu plu subtile mais passe partout, j'espere que tu comprendras mieux cette deuxieme methode qui utilises des notions que tu as surement deja vu et ton prof avec ;).

Peut etre as tu fais celle la et que tu n'as pas simplifié (1-p)^2 + p(1-p) et donc tu crois que tu n'as pas trouvé pareille mais cette somme vaut 1-p ...

On a evidemment de la meme maniere :
P(m=0)= P(X1=1,X0=1) + P(X1=-1,X0=1) = p^2 + (1-p)p = p^2+p - p^2 = p
c'est a dire evidemment le resultat trouvé par ma methode.


Si tu n'as pas fait ca, ton resultat est faux et va falloir que tu me files le tel de ton prof que je lui conseille deux trois lectures ;). Si c'est ca, ton prof avait raison on a trouvé pareille, c'est juste toi qui n'a pas simplifié tes resultats :briques: .

Florix
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par Florix » 19 Jan 2007, 22:51

Héhé mauvaise nouvelle, j'ai perdu ma feuille de brouillon avec tous les calculs ! :mur: Je crois bien que je l'ai oublié chez moi, :doh: donc je pourrais pas mettre ma proposition avant lundi sauf si je la retrouve entre temps bien sur !

Mais quand je dis qu'on est pas d'accord en tout point c'est vrai de vrai lol ! Y'a pas un point commun du début à la fin (ah si, on est d'accord pour les probabilités avec k = 1 mais en dehors de ça lol....)

Mais vu mon niveau en maths déjà j'ai pu me tromper et je pense que si on faisait un petit calclul de propa, disons que j'ai 99,9% chances de me tromper et toi 0,1% vu que tu m'a l'air quand même fort en maths !

Bref, je mets ma solution dès que possible !

BQss
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par BQss » 20 Jan 2007, 00:58

Florix a écrit:Héhé mauvaise nouvelle, j'ai perdu ma feuille de brouillon avec tous les calculs ! :mur: Je crois bien que je l'ai oublié chez moi, :doh: donc je pourrais pas mettre ma proposition avant lundi sauf si je la retrouve entre temps bien sur !

Mais quand je dis qu'on est pas d'accord en tout point c'est vrai de vrai lol ! Y'a pas un point commun du début à la fin (ah si, on est d'accord pour les probabilités avec k = 1 mais en dehors de ça lol....)

Mais vu mon niveau en maths déjà j'ai pu me tromper et je pense que si on faisait un petit calclul de propa, disons que j'ai 99,9% chances de me tromper et toi 0,1% vu que tu m'a l'air quand même fort en maths !

Bref, je mets ma solution dès que possible !


Je pense qu'il faut mieux attendre que tu postes tes calculs, il ne s'agit pas de faire un concours, juste de comparer des resultats et de discuter :), j'ai deja eu raison face a un prof de fac alors qu'il etait evidemment plus erudit que moi, donc a fortiori ce n'est pas une question d'etre meilleur en maths, je fais des fautes comme tout le monde... Bon la je suis sur(a 99% effectivement d'autant que j'ai trouvé le meme resultat par deux methodes differentes), mais ce n'est pas la question.

C'est surtout que j'ai posté mes resultats et les details, mais je ne sais toujours pas ce que tu as fait ni ce que tu as voulu faire. Ou ou tu n'es pas d'accord au cours des differentes etapes du calculs car tu dis juste "je ne suis pas d'accord" car tu ne trouves pas pareille plutot que d'essayer de comprendre en quoi je peux avoir raison ou tort pourquoi pas ce n'est pas le probleme. Tu pourrais essayer de voir ou tu n'es pas d'accord avec ce que j'ecris plutot que de constater une difference au final, tu ne crois pas ;).

En tout cas, j'attends tes calculs ;).

fahr451
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par fahr451 » 20 Jan 2007, 01:04

je peux faire médiateur si besoin je ne suis pas trop cher.

BQss
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par BQss » 20 Jan 2007, 01:09

fahr451 a écrit:je peux faire médiateur si besoin je ne suis pas trop cher.


Fahr, tu peux si tu le desires comparer tes resultats au notre biensur ce serait interessant, mais je sais que tu es la en toile de fond derriere chacune de mes interventions peremptoires sur les probabilités, donc j'imagine que si tu n'as rien dit c'est que tu as trouvé pareille, me trompe-je ;)?

fahr451
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par fahr451 » 20 Jan 2007, 01:12

oh pas d e procès d 'intention s'il vous plait . Du coup je vais regarder scrupuleusement guettant la moindre imprécision:)

BQss
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par BQss » 20 Jan 2007, 01:20

fahr451 a écrit:oh pas de procès d 'intention s'il vous plait . Du coup je vais regarder scrupuleusement guettant la moindre imprécision:)

Lol ;), parfois je te soupconne de ne pas avoir vu la notion, mais la je sais que ca n'a pu t'echapper, les variables aleatoires c'est largement dans tes competences :marteau: :king2: .

fahr451
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par fahr451 » 20 Jan 2007, 01:22

voila ce que j'ai (je pense que vous avez pareil)
X0 et X1 prennent deux valeurs -1 et 1 avec proba q et p (p+q=1)
delta = X1^2 -4X0
M = 2 ssi delta >0 ssi X0 = -1 de proba q

M = 0 ssi delta <0 ssi X0 = 1 de proba p

REM j ai pas vu de densité là

Florix
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par Florix » 20 Jan 2007, 01:26

Heu les gars vous commencez à me stresser lol !!! :hum:

Vous êtes deux membres complexes, visiblement accros de maths. Je ne suis qu'un petit membre qui pose beaucoup plus de questions que de répondre à des sujets déjà ouverts.

Mon niveau en maths est déplorable, je prends des cours particuliers, et j'avoue que beaucoup de choses me dépassent. Mais je ne sais pas si je dois vous dire tout ça, j'ai un peu peur de vous faire fuir ! ! Je suis nul en maths, ce n'est pas une grande nouvelle, mais je ne voudrais pas vous decevoir en postant un petit calcul minable qui visiblement est faux, car si je ne trouve pas comme vous vous avez surement raison.

Ceci dit je n'ai toujours pas retrouvé ma feuille, et comme je compte bien résoudre cet exercice, je compte bien poster mes calculs, car de toutes façons le ridicule ne tue pas ! Je vous demanderais juste d'être un peu indulgent !!! :ptdr:

D'ici là bonne nuit :dodo: et je repasse lundi mettre mes résultats...

Ah j'oubliais, merci de vous intéresser à mon exo c'est très gentil de votre part (j'apprécie beaucoup maths forum qui m'est d'une grande utilité, mais j'avoue que ce sont toujours les même personnes qui m'ont aidés depuis que je suis inscrit ici - je remercie particulierement abcd22, grâce à qui le chinois me parait moins mystérieux et qui m'a beaucoup aidé, et yos aussi ! - ) Bref je m'étale je m'étale (excusez moi je suis assez bavard dans la vie , voire un peu trop !)

Lundi la réponse ! (d'ici là suspense, vous avez quand même le droit de fermer l'oeil pendant la nuit ! :ptdr: ok ok je sors .... )

 

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