(Topologie) Valeur d'adhérence d'une appli => élément de l'a

[mmestre]

Bonjour,

J'ai X et Y deux espaces topologiques, et et . Soit une application.

Je veux montrer l'implication suivante en vue de montrer l'équivalence (résultat bien connu) :
est une valeur d'adhérence de f en a pour tout voisinage U de a dans X , .

J'ai commencé de la manière suivante mais je me suis perdu en route :

Soit un voisinage U de a dans X . Montrons que , c'est à dire que où est la famille de tous les fermés contenant .

Soit , montrons que .


Comme je ne sais pas grand chose sur ce fermé, j'essaie de le relier aux voisinages :
Je raisonne par l'absurde en supposant que .
S_{i} est un fermé contenant , donc est un ouvert contenu dans .
Comme (hypothèse du raisonnement par l'absurde) et que ce dernier est un ouvert de Y, il se contient lui-même et est donc un voisinage de b. Appliquons la définition des valeurs d'adhérence à ce voisinage de b et au voisinage U de a :

(1) .
(la définition dit que pour tout voisinage V de b dans Y et pour tout voisinage W de a dans X , )

J'ai ensuite essayé d'utiliser le fait que puis d'appliquer des deux côtés de cette relation pour obtenir ...
...dans le but d'arriver à quelque chose qui est en contradiction avec la relation (1) du paragraphe précédent.

Je suis bloqué, auriez-vous des idées ?

Merci d'avance !

[alavacommejetepousse]

bonsoir

je réécris

(i) b valeur d 'adhé de f en a c 'est à dire pour tout V voisinage de b et tout W voisinage de a, f^(-1) (V) inter W non vide

(ii) pour tout W voisinage de a b est ds l 'adhérence de f ( A inter W)

supposons (ii)

montrons (i) soit V voisinage de b et W voisinage de a

d'après ii b est ds l 'adhérence de f ( A inter W ) donc (forme plus simple que la tienne V inter f ( A inter W) non vide
prenons un v ds l 'intersection il est ds V et il s écrit v = f(w) avec w dans A inter W , w est donc ds f^(-1) ( V) et ds W ce qui garantit que leur intersection est non vide

la réciproque se fait de la même façon

[mmestre]

Merci pour votre réponse. Je vais y réfléchir et poster ici ma démonstration si j'arrive à la faire.

Bonne soirée !
Michael

[mmestre]

Si je ne m'abuse, il me semble que votre démonstration n'utilise pas complètement l'appartenance de à , car vous en déduisez immédatement :

(je reformule à peine)

Soit V un voisinage de b. D'après (ii), donc non vide.
Prenons un v dans l 'intersection ; il est dans V et il s'écrit avec .
w est donc dans et dans W ce qui garantit que .

Ça me plaît ; par contre, pour la réciproque, je vois mal comment se passer des propriétés de l'adhérence (l'inclusion dans tous les fermés contenant ...

À votre avis, est-ce une bonne méthode de raisonner par l'absurde en considérant un fermé contenant quelconque, et en supposant que b n'en fait pas partie (afin de pouvoir dire que le complémentaire du fermé en question est un voisinage de b, et utiliser l'hypothèse que b est un point adhérent de f en a ?).
Autrement, je ne vois pas comment utiliser l'hypothèse..