Representer une appli linéaire en matrice.

[Roby]

Bonjour à tous je suis nouveau dans le coin

Je viens avec une question sur les applications linéaires et les matrices.
Je passe une examen là dessus prochainement et j'ai un peu de mal avec le concept.

Voici une question à laquelle j’essaie de comprendre la réponse.

Soit l'application f de R3[X] --> R3[X] : f(P) = P - XP'
Donner la représentation de f sous forme de matrice.
On rappelle que la base canonique de R3[X] est 1;X;X^2;X^3:
Calculer son déterminant et son inverse éventuelle.

La réponse est la suivante



"Une colonne est nulle, donc le déterminant est nul, donc la matrice
n’est pas inversible. "

Je comprend que son déterminant est nul et donc qu'elle n'est pas inversible mais je ne voit pas comment trouver la matrice M
Bref je ne comprend pas la démarche ^^

Si vous pouvez éclairer ma petite lanterne je vous serai très reconnaissant !

Merci

[Robot]

Peux-tu rappeler la définition de la matrice d'un endomorphisme linéaire dans une base ? (Revois ton cours).
Il te suffira ensuite d'appliquer cette définition à la base et à l'endomorphisme qui t'es donné.

[Roby]

Bonjour,

Merci pour ta réponse.

(Je n'ai pas de cours je fais avec ce que je trouve sur le net)
J'ai trouvé ça :

On appelle matrice de f dans les base {e1,...,e n} de E et {f1,....,fp} de F la matrice notée dont les colonnes sont les composantes des vecteur f(e1),...., dans la base {f1,...,fp}.

Voilà ce qui par exemple ne me parle pas. Est ce que ici e1 =(1,0,0,0) e2= (0,X,0,0) etc... ?

Je vois bien que la matrice M semble être une matrice identité a laquelle on a retirer 0 , 1 puis 2 puis 3
après je ne vois pas beaucoup plus.

[Razes]

P de R^3 [ X]

Écris dans la base puis calcule , exprime la dans la même base.

[Robot]

Pourquoi n'as-tu pas de cours ? Tu n'es pas étudiant ?
Si tu veux étudier sérieusement, procure-toi un manuel !

Travaillons avec la définition que tu as donnée. Ici , l'espace vectoriel des polynômes de degré , et la base des deux côtés est . Tu fais donc ce qui est indiqué, à savoir calculer

Le colonnes de la matrice de sont les coordonnées des résultats trouvés dans la base .
(Le vecteur colonne des coordonnées du polynôme dans la base est ).

[Roby]

Merci pour les réponses mais malheureusement ce n'est pas assez claire pour moi,
J'avais besoin d'une explication partant du principe que je ne sais rien.

J'ai, je crois finalement trouvé.

Il faut en fait savoir ceci :

Toute application définie dans Rn[X] est en réalité un polynôme de degré n : 1 + X + x² + x^3 + ... + x^n
Ici, n = 3.
P est donc pour "polynôme".
et P' signifie la dérivé de P.

Ensuite il suffit juste de poser le tout.

P(X) = 1 + X + X² + X^3
Sa dérivée est donc : P'(X) = 1 + 2X + 3X²
Et du coup XP'(X) = X * (1 + 2X + 3X²) = X + 2X² + 3X^3

donne f(X) = P(X) - XP'(X)
<=> f(X) = 1 + X + X² + X^3 - ( X + 2X² + 3X^3 )
<=> f(X) = 1 + X + X² + X^3 - X - 2X² - 3X^3
<=> f(X) = 1 - X² - 2X^3

Ensuite on multiplie la matrice Identité par les coefficient du polynome donc 1 pour le coef devant le 1, 0 pour le coef devant X , -1 pour le coef devant le X^2 et -2 pour le coef devant X^3

Donc on multiple Identité 4X4 par le vecteur (1,0,-1,-2) et on tombe sur la matrice M dont je ne comprenais la provenance.

Si mon raisonnement n'est pas le bon je prend avec plaisir, car suis un débutant dans le domaine.

[Doraki]

Merci pour les réponses mais malheureusement ce n'est pas assez claire pour moi,
J'avais besoin d'une explication partant du principe que je ne sais rien.

Tu dois passer un exam sur un truc dont tu ne sais rien et tu n'as même pas cherché de cours qui puisse t'aider à le préparer ???

[aymanemaysae]

Bonjour,

Comme l'a dit M.Robot , pour avoir la matrice M, il faut calculer et , car les colonnes de la matrice M sont les coordonnées des résultats trouvés dans la base .

On a :









donc en conclusion on a :





Bon courage.

[Robot]

Aymane, ce que tu écris est incorrect : sont des polynômes, pas des vecteurs colonnes.

[aymanemaysae]

Bonjour,

Merci M.Robot de m'avoir remis sur le droit chemin.

Edit: j'ai rectifié mes bêtises, je demande pardon.

[danyL]

@Roby @Robot
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