Topologie générale: adhérence d'une partie

[AlexisD]

Bonjour,
Voici une petit exercice que j'avais à traiter mais je doute un peu sur le raisonnement:

Soit E un ensemble muni d'une topologie. Montrer que pour toute partie A de E, .

L'adhérence d'une partie A étant l'ensemble des points de E dont tout voisinage "coupe" A, i.e d'intersection non vide avec A.

L'inclusion

est évidente étant donné que j'ai préalablement montré que:
.

Voici mon raisonnement:
Je prends x dans et V un voisinage quelconque de x.
Par un des axiomes des voisinages, il existe un ouvert U (i.e: voisinage de tous ses points)contenu dans V et qui contient x.
U étant alors un voisinage de x, on sait donc, par hypothèse, qu'il coupe . C'est-à-dire:

Soit un élément y de cette intersection.
Comme , U est un voisinage de y.
Et dire que , implique en particulier que .
Or U est inclus dans V donc:
.

Voilà, j'aimerais savoir si le raisonnement tient debout.
D'avance, merci.

[Nightmare]

Salut !

Hum a première vue ça me semble correct.

Il y a une manière plus "simple" de le voir en terme de fermé : L'adhérence d'une partie c'est le plus petit fermé qui contient cette partie. A partir de cette définition (équivalente à la tienne) il est clair que l'adhérence de l'adhérence est l'adhérence.

[AlexisD]

Oui, bien sûr. Mais dans le cours que je suis, l'adhérence a été définie comme telle. C'est seulement après quelques propriétés (dont celle que je viens de montrer) qu'on a établi que c'était l'intersection des fermés contenant A.