Valeur d'adhérence d'une suite

par **AMA112** » 05 Déc 2009, 21:56

Bonjour,

J'ai un exo dont voici l'énoncé:

, a est une valeur d'adhérence de u s'il existe une suite extraite v de u convergeant vers a.
On note

et on veut montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de u est [-1;1].
On rapelle que tout sous-groupe G de

non réduit à {0} est soit dense dans

, soit de la forme

, où

.

a) Soit

, montrer que G est un sous groupe de

.
Pour cette question pas de problème.

b) En déduire que

est dense dans [-1;1], puis que

est dense dans [-1;1].
Là j'ai un peu de mal pour la première partie. Pour la seconde partie il faut utiliser la parité de cos je suppose.

c) Soit

.
Montrer que

est infini.
Construire par récurrence une suite extraite de u convergeant vers y.
Conclure.
Pour ces trois questions je n'ai aucune idée.

Dans l'attente, merci.

par **Ben314** » 05 Déc 2009, 22:25

Bonsoir,
pour le a), as-tu pensé à répondre à la question qui n'est pas posée mais suggérée par le préliminaire :
G est il dense ou de la forme sZ ?

Indic : à mon avis pour la réponse, il faut savoir que PI n'est pas un quotient (ce n'est pas super simple à démontré).

par **AMA112** » 06 Déc 2009, 11:03

Oui j'ai pensé à ça: G est dense dans R (car pi est irrationnel). Mais je suis quand meme bloqué...

par **Ben314** » 06 Déc 2009, 11:41

A ce moment là, la seule "petite" astuce, c'est de constater que, comme cos est 2-pi périodique,

(images directes) et de conclure en utilisant la continuité de la fonction cos et la densité de G dans R...

par **AMA112** » 06 Déc 2009, 11:58

en utilisant la continuité de la fonction cos et la densité de G dans R...

C'est justement cette étape que je ne sais pas rédiger...
Merci.

par **Ben314** » 06 Déc 2009, 12:08

Il existe un théorème qui te "vend" direct le résultat, mais c'est pas trés compliqué "à la main" :
Montrer que cos(G) est dense dans [0,1] revient à montrer que tout ouvert non vide de [0,1] rencontre cos(G).
Soit U un tel ouvert. Que peut tu dire de

?
Qu'en déduit tu ? (vu que G est dense dans R)
Conclusion.

P.S. si la densité "avec les ouverts" te pose problème, prend à la place de U un ]xo-epsilon,xo+epsilon[...

par **AMA112** » 06 Déc 2009, 13:00

En effet, je ne connais pas la densité avec les ouverts, est-ce que c'est pareil que les voisinages (qu'on a vu en cours) ?

Ben314 a écrit:Soit U un tel ouvert. Que peut tu dire de ?

Je ne vois pas...

est non vide?

Qu'en déduit tu ? (vu que G est dense dans R)
Conclusion.

Peux-tu expliquer un peu plus? Parce que je ne comprend pas trop..

Merci.

par **AMA112** » 06 Déc 2009, 16:38

svp quelqu'un?

par **alavacommejetepousse** » 06 Déc 2009, 16:47

bonsoir où en es tu exactement?

par **AMA112** » 06 Déc 2009, 17:08

Bonsoir alavacommejetepousse,

Je veux montrer la question b)

par **alavacommejetepousse** » 06 Déc 2009, 17:11

bon
G est dense dans R car pi irrationnel

cos est continue donc

cos(G) est dense dans cos(R) (ça va ça?) et le résultat

par **AMA112** » 06 Déc 2009, 17:14

cos est continue donc
cos(G) est dense dans cos(R)

C'est justement ce passage que je n'arrive pas à démontrer.

par **alavacommejetepousse** » 06 Déc 2009, 17:20

bon
visiblement tu as du mal avec les ouverts je fais donc avec les suites

pour l dans [-1,1] = cos(R) il existe x dans r tel que l = cos(x)

comme G est dense dans R il existe (gn) une suite de G qui converge vers x et comme cos est continue ,cos(gn) converge vers cos(x) = l

par **Ben314** » 06 Déc 2009, 17:23

Alavacommejetepousse utilise "direct" le théorème...
Pour le démontrer, même en prenant la définition de dense avec les voisinages, ca tient 3 lignes :
Soit

et

.
Il faut montrer que

est non vide....
Essaye de l'écrire : ça... coule de source...

P.S. où avec les suites comme le suggère alavacommejetepousse : on passe de 3 lignes à... 1 ligne.

par **AMA112** » 06 Déc 2009, 17:29

Le théorème en question c'est bien: G est dense dans R ssi pour tout x de R il existe une suite d'éléments de G convergeant vers x?
Si oui on l'a vu en cours ce théorème, donc on peut l'utiliser.

Y'a juste un truc que je ne saisis pas: pourquoi utilise-t-on le fait que cos soit continue?

par **Nightmare** » 06 Déc 2009, 17:57

Quid de cos(p) avec p décrivant l'ensemble des nombres premiers? :lol3:

par **Ben314** » 06 Déc 2009, 18:01

c'est forcément dense (sinon, ca se saurait)

par **ffpower** » 06 Déc 2009, 18:09

Si

est irrationnel, alors les

sont équirépartis modulo 1
Mais il parait que la preuve est assez hard...

par **AMA112** » 06 Déc 2009, 18:23

Quelqu'un pour mon pb?

il existe (gn) une suite de G qui converge vers x et comme cos est continue ,cos(gn) converge vers cos(x) = l

Y'a juste un truc que je ne saisis pas: pourquoi utilise-t-on le fait que cos soit continue?
Y'a juste à utiliser la caractérisation séquentielle de la limité et c'est fini non?

par **alavacommejetepousse** » 06 Déc 2009, 18:32

bon

pour f ayant une limite l au point x

pour (gn) une suite qui tend vers x on a f(gn) qui tend vers l

ici l = cos x
si f n a pas de limite au point x c est pas vrai a priori

Valeur d'adhérence d'une suite

Valeur d'adhérence d'une suite

Qui est en ligne