Topologie L2

[capitaine nuggets]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour montrer que l'ensemble suivant est ouvert dans 2.

tel que .

Donc j'ai établis que le rayon d'une boule contenue dans doit être compris en et .

C'est pourquoi je considère la boule .

Mais je n'arrive pas à montrer qu'elle est contenue dans .

Merci d'avance pour votre aide :we:

[arnaud32]

prends par ex pour epsilon min(x/2 ; (1-x)/2)

[capitaine nuggets]

Salut !

prends par ex pour epsilon min(x/2 ; (1-x)/2)

Pourquoi ?
Comment en es-tu arriver à cette conclusion ?

Admettons que je prenne ton epsilon. Comment montrer que toutes ces boules sont effectivement contenues dans A ?

[arnaud32]

prends (x,y) dans A
et (x',y') dans ta boule tu as - epstu peux distinguer deux cas suivant que x est sup ou inf a 1/2 par ex

[chan79]

prends par ex pour epsilon min(x/2 ; (1-x)/2)

Tout à fait d'accord
On peut aussi dire que A est l'intersection de deux demi-plans ouverts

[capitaine nuggets]

prends (x,y) dans A
et (x',y') dans ta boule tu as - eps<x'-x<eps
tu peux distinguer deux cas suivant que x est sup ou inf a 1/2 par ex

Soient .
.
Mais après je dois faire quoi ?
Je ne vois pas bien ce que doit obtenir à la fin.

[arnaud32]

tu as eps = (1-x)/2 Donc 0<(2x-1)/2< x' <1/2<1

[capitaine nuggets]

Tou à fait d'accord
On peut aussi dire que A est l'intersection de deux demi-plans ouverts

Ah oui :
.

Toutefois, je ne saurais pas montrer que ou sont des ouverts.

[capitaine nuggets]

si tu as eps = x/2 ....
si tu as eps = (1-x)/2 ....

Oui et alors ?
Je ne vois pas où tu veux en venir ...

[capitaine nuggets]

J'aimerais bien comprendre comment on peut montrer que cet ensemble contient toutes les boules ouvertes définies précédemment, mais on n'a pas fait bcp d'exercices pour l'instant.
Donc j'ai un peu de mal...

[arnaud32]

tu as eps = (1-x)/2 Donc 0<(2x-1)/2< x' <1/2<1

[Nightmare]

Même si c'est évident, je me permets de le suggérer vu que ça n'a pas été fait jusque là : Fais un dessin.

[capitaine nuggets]

Je pense avoir compris plusieurs chose, toutefois, j'aimerais savoir comment avoir une idée pour trouver un \epsilon qui convient. En particulier, comment peux-t-on avoir l'idée de prendre .

De plus, je trouve l'idée intéressante de considérer où et .
Mais je ne vois pas bien comment montrer que E et F sont ouverts (à cause de l'infini).

[Nightmare]

Pour comprendre l'idée de epsilon, comme je te l'ai suggéré, un petit dessin :



Concernant E et F, ils sont ouverts simplement comme produit d'ouverts. ]-oo;a[, c'est ouvert dans R.

[Luc]

Pour comprendre l'idée de epsilon, comme je te l'ai suggéré, un petit dessin :



Concernant E et F, ils sont ouverts simplement comme produit d'ouverts. ]-oo;a[, c'est ouvert dans R.

Joli dessin! JP Marco ne l'aurait pas renié! :we: