Topologie !

[barbu23]

Parceque avec : .
Donc : et ne sont pas isomorphes, donc et ne sont pas homeomorphes.
C'est ça le raisonnement ???

[barbu23]

Bonjour :
C'est quoi un espace topologique compact ?
merci d'avance !!

[legeniedesalpages]

Bonjour Barbu,

il me semble (mais sans certitude) que dans un espace métrique E, une partie (fermée?) K est -compacte si pour toute famille d'ouverts d'ouverts de E recouvrant K, on a pour tout , la boule ouverte contenue dans au moins un .

[barbu23]

"legeniedesalpages", tu sais comment traduire cette phrase ? :
A topological space is compact if it is a countable union of compact sets.
"countable", j'ai pas compris !!
La phrase veut simplement dire :
" Un espace topologique est compact s'il est union "... ? countable ? ..." de parties compacts !!
" countable" veut dire soit "fini" soit "denombrable" soit "indenombrable" !!

[legeniedesalpages]

countable=fini ou dénombrable

[SimonB]

A topological space is compact if it is a countable union of compact sets.

Un espace topologique est compact s'il est une union dénombrable de compacts.

" countable" veut dire soit "fini" soit "denombrable" soit "indenombrable" !!

Ca veut dire soit fini soit dénombrable. En fait, "fini" est un cas particulier de "dénombrable" dans leur définition (qui est : E est dénombrable si, et seulement si, il existe une surjection de sur E.)

[barbu23]

Merci "legeniedesalpgaes" !!

[barbu23]

D'accord "SimonB", merci !!

[barbu23]

Bonsoir :
Soit un espace topologique quelconque.
Est ce que est une partie compact de ?.
Merci d'avance !!

[SimonB]

Soit un espace topologique quelconque.
Est ce que est une partie compact de ?.

Une définition possible de compact est : de toute suite dans A on peut extraire une suite convergente dans A.
Là, c'est trivialement le cas. Donc oui.

[barbu23]

Bonsoir "SimonB" :
L'ensemble vide ne contient ni suite ni rien du tout, comment tu arrives à conclure ?!

[barbu23]

Moi, je pense que oui :
Parceque si on recouvre le vide par un nombre quelconque d'ouverts, il existe toujours un sous recouvrement d'ouverts fini de ce vide : il suffit de prendre le vide recouvert par lui même qui est aussi un ouvert et qui existe toujours, parmi n'importe quelle famille d'ouverts recouvrant ce vide !!

[barbu23]

Le vide ne peut jamais se recouvrir parcequ'il est infini ... alors là, il y'a un problème !!

[legeniedesalpages]

Bonsoir "SimonB" :
L'ensemble vide ne contient ni suite ni rien du tout, comment tu arrives à conclure ?!

c'est justement pour ça que SimonB affirme que le vide est compact.

Sinon comme tu dis tu peux prendre une famille d'ouverts quelconques de l'espace vide recouvrant le vide, alors tous les éléments de cette famille sont vides, mais alors comment en choisir un ou plusieurs de cette famille, je pense qu'il ya un problème.

En tout cas le vide est fini par convention.

[barbu23]

c'est justement pour ça que SimonB affirme que le vide est compact.

Sinon comme tu dis tu peux prendre une famille d'ouverts quelconques de l'espace vide recouvrant le vide, alors tous les éléments de cette famille sont vides, mais alors comment en choisir un ou plusieurs de cette famille, je pense qu'il ya un problème.

En tout cas le vide est fini par convention.

non, ce n'est pas que "... tous les éléments de cette famille sont vides" .. comme tu le dis ... mais que les ouverts qui recouvrent le vide sont des ouverts de ...
le problème est comment arriver à recouvrir le vide par des ouverts quelconques alors qu'il est par abus de langauge " infini" ,il occupe tous l'espace, le lieu tout entier ( je sais pas comment t'expliquer ça, le vide existe partout et un objet ou un ouvert existe c'est qu'il occupe une partie de ce vide et tous ce qui existe d'ailleurs occupe le vide ... :lol2: c'est du blablabla ...trop de philosophie... j'aime pas entrer dans ces details là ... parcequ'ils sont hors sujets ... on s'eloigne trop ) :lol2:

[legeniedesalpages]

d'accord en fait tu considères l'ensemble vide comme un sous-espace induit d'un espace X.

A ce moment-là si tu prends une famille quelconques d'ouverts tu voudrais extraire un sous-recouvrement fini. Il est clair que toute sous-famille finie de est un tel sous-recouvrement, mais je ne vois pas comment en extraire un sans faire appel à l'axiome du choix.

C'est pour ça que je pense que la méthode de SimonB est préférable.

[barbu23]

Si est une famille d'ouverts de recouvrant ou non ( le plus probable c'est qu'elle ne recouvre pas d'aprs ce qu'on a dit )

Donc le vide est compact !!

[legeniedesalpages]

Si est une famille d'ouverts de recouvrant ou non ( le plus probable c'est qu'elle ne recouvre pas d'aprs ce qu'on a dit )

Donc le vide est compact !!

Je ne comprends pas ce que tu dis.

Mais toute famille de parties de recouvre .

En effet, pour tout , on a , (à moins qu'on n'ait pas la même définition de recouvrement ce qui est possible).

En particulier toute famille de parties ouvertes de recouvre .

Edit: En fait, je ne vois pas où est l'argument qui fait que le vide est compact dans ta démo.

[barbu23]

hummm .. tu as raison.. !! :lol2:
Alors, c'est moi qui dit n'importe quoi !!
J'au du mal à comprendre ça :
Si c'est le cas, toute famille d'ouverts recouvre , si on prend un élément de cette famille, il recouvre .
Donc, le vide est compact !
En tous cas , merci !!
Au fait, tu peux m'expliquer ce que voulais dire SimonB dans son message, j'ai pas trop compris ce qu'il voulais dire !!
Merci d'avance !!

[legeniedesalpages]

hummm .. tu as raison.. !! :lol2:
Alors, c'est moi qui dit n'importe quoi !!
J'au du mal à comprendre ça :
Si c'est le cas, toute famille d'ouverts recouvre , si on prend un élément de cette famille, il recouvre .
Donc, le vide est compact !
En tous cas , merci !!
Au fait, tu peux m'expliquer ce que voulais dire SimonB dans son message, j'ai pas trop compris ce qu'il voulais dire !!
Merci d'avance !!

Je ne sais pas trop ce que tu veux dire par:



En tout cas l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble.

"Si c'est le cas, toute famille d'ouverts recouvre , si on prend un élément de cette famille, il recouvre .
Donc, le vide est compact !"

Je suis bien d'accord mais comment tu "choisis" l'élément de cette famille? Je pense qu'il y a un souci.

Sinon on procède comme ça:

On suppose par l'absurde, qu'il existe une famille d'ouverts recouvrant pour laquelle on ne peut extraire aucune sous-famille finie.
Donc il existe un ouvert de cette famille qui n'inclut pas X ce qui est absurde.
(méthode ensembliste)

On suppose par l'absurde, qu'il existe une suite de points de tel qu'aucune de ses sous-suites converge. , ce qui est absurde.
(méthode séquentielle)