Topologie dans R, espace ouvert / fermé

par **goudou** » 30 Mai 2009, 16:21

Bonjour à tous !
J'ai une incompréhension avec un exercice.
On dit que Z n'est pas ouvert. Cependant, "un intervalle I est ouvert si I est vide ou si I est voisinage de chacun de ses points, c'est à dire, pour tout x de I, il existe un intervalle ouvert ]a;b[ tel que x appartient à ]a;b[, lui même dans I."

Déjà en cours on a vu que N n'est pas ouvert. Je ne suis pas sûre du pourquoi, je pense que c'est parce que pour 0, il n'existe pas d'intervalle ]a;b[ appartenant à N?

Par contre, je ne comprends pas pourquoi Z n'est pas ouvert ? Dans le cours, on a dit que c'est parce qu'il n'existe pas d'intervalle non réduit à un point.
Mais si on prend par exemple 3, il appartient bien à des intervalles ouverts de Z, non ?
Pourtant, je pense avoir compris la notion de voisinage, mais je bloque ...

par **Nightmare** » 30 Mai 2009, 16:28

Salut,

Déjà, quand on parle d'ouvert et de fermé, il faut savoir de quelle topologie on parle. Ici je pense qu'on parle de la topolgie usuelle sur R.

Les boules ouvertes sont les segments ]a,b[. Si Z était ouvert, pour tout entier n il existerait un intervalle du type ]n-e,n+e[ inclus dans Z ce qui est évidemment impossible puisque tout intervalle du type ]n-e,n+e[ contient des non entiers.

par **fourize** » 30 Mai 2009, 16:28

bonjour,

je ne sais pas quel niveau t'es ! mais voici une autre definition d'ouvert:
A est dite ouvert si pour tout x £ A, il existe µ positif tel que B(x,µ) £ A.

les deux ensembles que tu demande ne verifie pas cette définition :doh:
d'ou IN et Z ne sont pas des ouvert.

PS. Nightmare a fait ça dans un domaine particulier qui est IR :zen:

par **Antho07** » 30 Mai 2009, 16:29

On dit qu'un ensemble

non vide est ouvert si pour tout x dans A, il existe r>0,

par **fourize** » 30 Mai 2009, 17:00

Antho07 a écrit:On dit qu'un ensemble non vide est ouvert si pour tout x dans A, il existe r>0,

c'est quoi ça ? tu veux qu'on dit "OUI"! :++: :ptdr:

par **goudou** » 30 Mai 2009, 17:07

Oui il s'agit bien de la topologie dans R, je l'ai mis en titre du sujet !

En fait, c'est vraiment tout bête ! Je pensais que ]n-e,n+e[ ne prenait que des e entiers comme on parlait de Z, mais il s'agit de e réels, car c'est la topologie sur R, c'est ça? Et donc, si j'ai bien compris R est donc ouvert, car ]n-e,n+e[ contient une infinité de possibilité ?
Par contre, Q n'est pas ouvert ? Je ne sais pas comment le justifier. Peut on dire que racine de 2 n'appartient pas à Q ?

Fourize, je ne suis qu'en première année de licence, donc je ne comprends pas ta définition, mais merci quand même :)

par **Nightmare** » 30 Mai 2009, 17:21

On peut définir beaucoup de topologie sur R ! Ici je parle de la topologie engendrée par les segments ouverts, ou si tu veux la topologie induite de la distance valeur absolue sur R.

La définition de tourize est celle qu'on voit en premier dans les espaces métriques.

Q n'est pas ouvert pour les même raisons, en aucun point on ne peut centrer une boule ouverte qui ne contiendrait que des rationnels.

par **fourize** » 30 Mai 2009, 17:22

re,

goudou a écrit:Oui il s'agit bien de la topologie dans R, je l'ai mis en titre du sujet !
En fait, c'est vraiment tout bête ! Je pensais que ]n-e,n+e[ ne prenait que des e entiers comme on parlait de Z, mais il s'agit de e réels, car c'est la topologie sur R, c'est ça?

trop fort ! c'est bien ça la raison.

Et donc, si j'ai bien compris R est donc ouvert, car ]n-e,n+e[ contient une infinité de possibilité ?

c'est juste une question de te rassurer ! OUI OUI OUI OUI :++:

Par contre, Q n'est pas ouvert ? Je ne sais pas comment le justifier. Peut on dire que racine de 2 n'appartient pas à Q ?

ça je risque de dire une bêtise :mur: (les expert !!!)
"post juste au dessus: c'est NON, Q n'est pas ouvert"

Fourize, je ne suis qu'en première année de licence, donc je ne comprends pas ta définition, mais merci quand même

desolé alors pour ma definition ! puisque je ne connaissais pas ton niveau j'ai donné un truc general. ça revient au même si tu passe à

"l'année prochaine :++: "

par **Nightmare** » 30 Mai 2009, 17:25

Et donc, si j'ai bien compris R est donc ouvert, car ]n-e,n+e[ contient une infinité de possibilité ?

J'ai pas compris...

Déjà une autre chose, quand on parle de topologie, on a toujours un espace topologique de référence. En particulier, lorsqu'on parle d'ouvert, on parle d'ouvert dans un espace particulier.

En l'occurrence, un ensemble est toujours ouvert et fermé dans lui même, donc R est ouvert et fermé dans R. Question, l'est-il dans C par exemple?

par **fourize** » 30 Mai 2009, 17:45

re

Nightmare a écrit: Question, l'est-il dans C par exemple?

en considerant ma définition que j'ai donné un peu plus haut; j'envie de dire NON.
* déjà dire que µ est dans C et positif, comme rayon de la boule ouvert me parait incoherent (vous le confirmer?)
* sinon il existera des élément de C dans la boule qui n'appartient pas à IR :triste:

bref c'est non ! mais je n'ai pas de preuve palpable.

par **Nightmare** » 30 Mai 2009, 17:49

Il faut voir à quoi correspondent les ouverts dans C pour la topologie usuelle, ce sont les disques ouverts.

Dans le plan C, R est une droite. Clairement aucune boule ne peut être contenue dedans. Par contre son complémentaire C\R (imaginaires purs) est ouvert. On en conclut que R est fermé dans C.

par **fourize** » 30 Mai 2009, 18:08

re;

Nightmare a écrit:Il faut voir à quoi correspondent les ouverts dans C pour la topologie usuelle, ce sont les disques ouverts.

Dans le plan C, R est une droite. Clairement aucune boule ne peut être contenue dedans. Par contre son complémentaire C\R (imaginaires purs) est ouvert. On en conclut que R est fermé dans C.

tres clair :++: et merci
par contre je n'ai pas compris C\IR est ouvert. les imaginaire pure forme aussi une droit? donc aucune boule ne peut y etre dedans ? donc ... (je dis une betise?)

PS. espérons que je dépayse pas trop notre jeune Ami !!!

par **Nightmare** » 30 Mai 2009, 18:26

petite erreur, il fallait lire "à quoi correspondent les boules ouvertes" (et non les ouverts seulement).

Une autre petite erreur, C\R n'est évidemment pas les imaginaires purs, juste les complexes de partie imaginaire non nulle.

par **fourize** » 30 Mai 2009, 18:30

... re...

Nightmare a écrit:petite erreur, il fallait lire "à quoi correspondent les boules ouvertes" (et non les ouverts seulement).

ça j'avais compris qu'il s'agit des boules lol

Une autre petite erreur, C\R n'est évidemment pas les imaginaires purs, juste les complexes de partie imaginaire non nulle.

ça me va maintenant !! un grand MERCI Nightmare :++:

par **goudou** » 30 Mai 2009, 20:14

Euh ... Je n'ai pas vraiment compris la fin de la discussion :hein:
Enfin, je pense avoir compris le principal :)
J'ai vérifié et Q n'est pas ouvert. Par contre je ne sais pas le justifier. Je dirais que c'est à cause des irrationnels par exemple.
Merci pour votre aide !!

par **fourize** » 30 Mai 2009, 20:22

goudou a écrit:Euh ... Je n'ai pas vraiment compris la fin de la discussion :hein:

ça c'est normal !

Enfin, je pense avoir compris le principal
J'ai vérifié et Q n'est pas ouvert. Par contre je ne sais pas le justifier. Je dirais que c'est à cause des irrationnels par exemple.
Merci pour votre aide !!

tu peut utiliser les boules ouvert mais pour faire plus simple, on va dire pour x de Q il n'existe pas de e réel positif telque ]x-e,x+e[ inclus dans Q.
d'ou Q n'est pas ouvert .

par **prody-G** » 30 Mai 2009, 20:25

edit : faites comme si javais rien dit.:D

par **fourize** » 30 Mai 2009, 20:59

prody-G a écrit:edit : faites comme si javais rien dit.

excuser l'expression :"..." tu m'as lancé dans un recherche unitile.

par **Nightmare** » 30 Mai 2009, 23:00

L'important est de comprendre que quand on parle de topologie il faut savoir de quelle topologie on parle. La notion d'ouvert et fermé est purement topologique. On pourrait munir R de topologies qui font que les ouverts sont autres que les segments ouvert ou leur réunion dénombrable.

Topologie dans R, espace ouvert / fermé

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