Topologie produit

[Murene]

Transcription du poly de Leborgne sur la Topologie:

Proposition 1.44: Si (E_1, Topol_1) et (E_1, Topol_1) sont deux espaces topologiques, T=Topol_1 × Topol_2 est une topologie dans E=E_1×E_2.

Preuve: Les propriétés O_1 (stabilité par union quelconque), O_2 (par intersection finie), et O_3 (∅, et l’ensemble considéré, E, sont inclus dans la topologie) sont immédiates.

Ma question: quelle est la preuve pour O_1? Autrement dit, soit W= Union{W_i; i∈I}, I quelconque, où W_i=(U_i,V_i), et U_j∈Topol_1, V_j ∈ Topol_2. Écrire W sous la forme W=(U,V). où U ∈ Topol_1, V ∈ Topol_2.

En attendant, voici les preuves, effectivement «immédiates», pour O_2 et O_3.

Pour O_3: ∅=(∅,E_2), E = (E_1×E_2) ∈ T.
Pour O_2: pour n=2, soit W_1=(U_1×V_1) et W_2=(U_2×V_2), où U_j ∈ Topol_1, V_j ∈ Topol_2. On a Intersect(W_1,W_2)=(Intersect(U_1,U_2), Intersect(V_1, V_2)) où Intersect(U_1,U_2)∈Topol_1 et Intersect(V_1,V_2) ∈Topol_2. Raisonnement par récurrence pour le cas 2<n<∞.

[arnaud32]

pour la topologie produit:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Topologie_produit

[Murene]

@arnaud32

À ce stade, je vais tenter une réponse à ma question: L'affirmation «T=Topol_1 × Topol_2 est une topologie dans E=E_1×E_2.» est mal formulée. Il faudrait plutôt dire «Topol_1 × Topol_2» est une base d'ouverts pour la topologie produit.

Un avis?

[Mimosa]

Bonjour

n'est pas une topologie! Tu as raison, il s'agit d'une base d'ouverts pour la topologie produit.

[Murene]

Mimosa, merci de confirmer.

[Ben314]

Salut,
Comme toujours, le problème est un problème de définition et ici, LA question à se poser, c'est de savoir comment est défini .
Ce n'est surement pas le produit au sens usuel du produit des ensembles vu que si c'était le cas, un élément de se présenterais sous la forme d'un couple avec et or un tel couple n'est pas une partie de (par exemple, le couple d'intervalles ([0,1] ; [3,5]) n'est clairement pas une partie de ).
Donc si on veut que les éléments de soient des parties de , il faut une autre définition (et à priori, on devrait même utiliser un autre symbole que vu qu'il a déjà une signification dans ce contexte, mais que ce n'est pas la bonne).

Par exemple, on pourrait poser comme nouvelle définition un truc du style :

et dans ce cas (i.e. si c'est cette définition là qu'on prend), alors effectivement, n'est pas une topologie sur .

Mais, il semble bien plus judicieux de prendre directement comme définition :

De façon à ce que soit bien une topologie sur .

Enfin, bref, AVANT ta fameuse proposition 1.44, il y a OBLIGATOIREMENT une définition de ce que représente (vu que ça ne peut pas être la définition usuelle du produit de deux ensembles) et la réponse à ta question (est-ce une topologie ou pas) va bien évidement dépendre de la définition choisie.

[Murene]

désolé, mais convaincu par votre définition. d'abord, il manque intersections finies. Ensuite, quand bien même elle serait juste, elle ferait redondance avec "topologie ayant pour base d'ouverts " (point déjà soulevé et confirmé). Enfin, "produit d'ensembles" est un terme consacré auquel il ne vaut mieux pas substituer une autre déf. Et en bonus, l'auteur vient de modifier son poly (pas encore regardé). https://www.isima.fr/~leborgne/IsimathT ... pologi.pdf

[Ben314]

Effectivement, et c'est ce que j'ai déjà écrit, le terme de "produit d'ensemble" a déjà un sens, et (déjà écrit aussi) ce n'est surement pas celui qu'il faut comprendre lorsque l'on parle de "produit de deux topologie" vu que n'est clairement pas une partie de (où P(?) désigne l'ensemble des parties de ...)
Donc (bis et répéta...) il faut donner une nouvelle définition à ce symbole dans ce contexte particulier et évidement les propriétés que va avoir l'ensemble défini par cette nouvelle définition vont dépendre de la définition prise.

Et concernant le poly. en question, la proposition 1.47 affirmant que "O1xO2 engendre une base d'ouvert de E1xE2" est effectivement erronée sans précision supplémentaire concernant le fait que la notation O1xO2 ne désigne pas le produit des ensemble O1xO2.

P.S. Et il n'est pas utile de rajouter les intersections finies dans la 2em définition proposée pour O1xO2 vu qu'elles y sont déjà.

Bref, je persiste... et je signe...

[Murene]

Je tacherai de réfléchir à votre clarification.