Topologie produit !!

[barbu23]

Bonsoir :
Soient , , ... , : espaces topologiques quelconques.
Soit : le produit cartesien des .
Soit l'application projection.
On cherche à munir d'une topologie appelée topologie produit !!
Est ce que l'application est toujours continue, ou bien il existe des cas ou cette application est non continue ?
Est ce que vous pouvez m'expliquer quelle sont les éléments de cette topologie ?
Merci infiniment !!

[barbu23]

Tout ce que je veux, c'est qu'on me confirme ce resultat, parceque j'ai quelques doutes pour la raison suivante :
Soit : .
Soit : un ouvert de .
On a : est un ouvert de .
Donc, l'image inverse d'un ouvert est un ouvert, ce qui confirme que l'application projection est continue.
Or, dans les livres de topologie, je trouve ce qui suit :
On appelle topologie produit la topologie la moins fine sur , qui rend continue les applications continues .. c'est à dire, si un ouvert de alors , on veut que soit un ouvert de .
Alors l'expression " ... qui rend continue ... " me révèle qu'il y'a des cas ou ces applications projections sont non continues.
Merci d'avance de vos éclaircissements !!

[legeniedesalpages]

Bonjour Barbu, comme te dit ton bouquin, la topologie produit est faite pour rendre les projections continues, mais on veuyt pas qu'elle ait trop d'ouverts, donc on prend assez d'ouverts pour que les projections soient continues mais pas plus d'ouverts.

[barbu23]

Bonjour "legeniedesalpages" :

la topologie produit est faite pour rendre les projections continues

ça veut dire que les applications projections ne sont pas en général continues ?

la topologie produit est faite pour rendre les projections continues

Quel interet y'a-t-il pour que la topologie produit n'ait pas trop d'ouverts ?
Merci d'avance !!

[barbu23]

Bon, je récapitule, j'ai encore pas trop compris ce sujet là malheureusement :
La topologie produit est la topologie la moins fine qui rend continue les applications projections ...
Celà signifie que la topologie produit est la topologie qui contient le moins d'ouverts possibles telle que si est un ouvert de , alors est un ouvert de ...
Or, ceci est toujours, verifié ( la projection est toujours continue ) ...
:hum: , je comprends vraiment rien !!

[legeniedesalpages]

si tu considères n espaces ,
le but est de munir d'une topologie , telle que les projections soient toutes continues.

Si tu mets trop d'ouverts, tu te rapproches de la topologie discrète où tous les ensembles sont à la fois ouverts et fermés, elle est très fine, et ça a pas grand intérêt.
Si tu mets pas assez d'ouverts, tu te rapproches de la topologie grossière qui est démunie, tu perds entre autres des propriétés comme le fait d'être séparé, et ça devient moins intéressant pour les études de convergence par exemple.

[legeniedesalpages]

Dans le même genre d'exemple, la topologie quotient est faite pour rendre la surjection canonique continue,
pour une partie A d'un espace E, la topologie induite de E sur A est fait pour rendre la restriction de l'identité de E à A continue.

[legeniedesalpages]

en fait pour revenir à ta définition de la topo produit on voit que si on prend ces ouverts, les projections sont continues. Inversement si on veut que les projections soient continues, il faut prendre ces ouverts. (du coup on peut pas en prendre moins, et il n'y a pas besoin d'en prendre plus, elle est juste assez fine).

[barbu23]

Dans le même genre d'exemple, la topologie quotient est faite pour rendre la surjection canonique continue,
pour une partie A d'un espace E, la topologie induite de E sur A est fait pour rendre la restriction de l'identité de E à A continue.

Pour la topologie quotient : si avec : : la surjection canonique.
Par exemple :
Soit :
Soit : .
Alors : est un espace topologique.
La partition et definit une relation d'équivalence sur .
On a : et et et

et .
.
Soit

et sont des ouverts de car : et sont des ouverts de .
est un ouvert de car : est un ouvert de .
Or : n'est pas un ouvert de car : n'est pas un ouvert de .
Alors là, la topologie quotient est faite pour rendre la surjection canonique continue !! car il existe des parties ouverts de l'ensemble d'arrivée qui n'ont pas pour image reciproque des parties ouverts de l'ensemble de depart !!
Par contre, pour la topologie produit, elle est faite comme vous le dites, est faite pour rendre la projection canonique continue ... or toutes les ouverts de l'ensemble d'arrivée ont pour image reciproque des parties ouverts de l'ensembles de depart, donc on a pas besoin de la continuité des projections là !!
Est ce que tu vois bien maintenant ce que j'ai pas bien compris ? il y'a quelques choses qui fonctionnent mal dans ma tête et que j'arrive pas à m'en sortir :hum: :lol2:

[barbu23]

si tu considères n espaces ,
le but est de munir d'une topologie , telle que les projections soient toutes continues.

Pas la peine de chercher ça, les projections sont toutes continues !!
Est ce que tu as un exemple de projection qui n'est pas continue ? c'est tout ce que je cherche !!

[legeniedesalpages]

Par exemple :
Soit :
Soit : .

si serait une topologie, serait ouvert et donc dans la topologie ce qui n'est pas le cas, donc c'est pas une topologie.

Sinon si tu prends muni de la topologie discrète, alors est ouvert mais et qui ne sont pas ouverts, donc il n'y a pas continuité (la topologie grossière n'est pas assez fine).

[barbu23]

Sinon si tu prends muni de la topologie discrète, alors est ouvert mais et qui ne sont pas ouverts, donc il n'y a pas continuité (la topologie grossière n'est pas assez fine).

non ton raisonnement me semble faux ... :lol2: Si, on prend muni de la topologie discrète, alors est ouvert mais et qui ne sont pas ouverts n'implique pas qu'il n'y'a pas de continuité !! :lol2:

[legeniedesalpages]

non ton raisonnement me semble faux ... :lol2: Si, on prend muni de la topologie discrète, alors est ouvert mais et qui ne sont pas ouverts n'implique pas qu'il n'y'a pas de continuité !! :lol2:

ben si, f est continue si et seulement si l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert.

[barbu23]

Soit un espace topologique tel que : est la topologie grossière.
Soit est un espace topologique tel que : est la topologie discrète.
Alors n'est pas continue.
En effet :
Pour un ouvert non trivial de ( c'est à dire et
n'est pas un ouvert de .

[legeniedesalpages]

oui pardon désolé j'ai confondu image et image réciproque.

[legeniedesalpages]

Je corrige mon contre-exemple:

Tu prends muni de la topologie grossière, et la projection .

On a qui n'est pas fermé, donc la projection n'est pas continue.

[legeniedesalpages]

Soit un espace topologique tel que : est la topologie grossière.
Soit est un espace topologique tel que : est la topologie discrète.
Alors n'est pas continue.
En effet :
Pour un ouvert non trivial de ( c'est à dire et
n'est pas un ouvert de .

Je pense que ça marche mais à condition qu'aucun des est vide.

[barbu23]

Ah, toi, t'utilises les fermés au lieu des ouvert pour definir la continuité des projections !
D'accord, merci "legeniedesalpages" !!

[legeniedesalpages]

Ah, toi, t'utilises les fermés au lieu des ouvert pour definir la continuité des projections !
D'accord, merci "legeniedesalpages" !!

Non je définis la continuité avec les voisinages, mais apres j'ai la caractérisation de la continuité en termes de fermés et la caractérisation de la continuité en termes d'ouverts à titre de théorèmes.

[barbu23]

D'accord !