Soit :
En effet :
Soit
Par hypothèse :
Topologie produit !!
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par barbu23 » 15 Oct 2007, 21:38
Soit 
.
Soit : $)
est un système de voisinages denombrable de 
.
En effet :
Soit $)
.
un ouvert de de 
tel que : 
.
Par hypothèse :
 } W_{n} $)
avec : 
croissante.
Soit :
En effet :
Soit
Par hypothèse :
par legeniedesalpages » 15 Oct 2007, 21:48
On suppose que 
vérifie l'axiome 2. Soit 
.
Donc il existe une suite d'ouverts_{n\in \mathbb{N})
tel que tout ouvert est réunion d'éléments de cette suite.
Soit
un voisinage de 
.
Il existe un ouvert
tel que 
.
Par définition de, il existe un entier 
tel que
[CENTER]
[/CENTER]
Ceci prouve l'axiome 1.
Donc il existe une suite d'ouverts
Soit
Il existe un ouvert
Par définition de
[CENTER]
Ceci prouve l'axiome 1.
par legeniedesalpages » 15 Oct 2007, 21:55
pour tout entier tel que 
est non vide il existe 
.
On pose
On prend un un point
quelconque de . On montre que tout voisinage de rencontre 
.
Dans la question j'ai montré que)
est un système fondamental de voisinages.
On pose
On prend un un point
Dans la question j'ai montré que
par barbu23 » 15 Oct 2007, 22:03
Oui ... voilà ... !!
Pour $)
:
Soit
.
Posons :
Montrons que :
On a :
Montrons que :
Soit :.
Soit.
un ouvert de tel que :
Par hypothèse :} W_{n} $)
} W_{n} \subset V $)
Pour
Soit
Posons :
Montrons que :
On a :
Montrons que :
Soit :
Soit
Par hypothèse :
par barbu23 » 15 Oct 2007, 22:10
par barbu23 » 15 Oct 2007, 22:19
tu sais faire le  $)
"legeniedesalpages" ? j'aime pas ce genre de questions moi !! :berk: :lol2:
par legeniedesalpages » 15 Oct 2007, 22:33
là ça parait dur. Je pense que c'est pas la peine de chercher dans les sous-espaces de 
. Peut-être dans les espaces de fonctions.
par barbu23 » 15 Oct 2007, 22:42
:triste: Pourquoi ne pas chercher sur des ensembles finis ( discrèts ) ?! c'est plus saisissable que les espaces de fonctions et les espaces 
!!
Pour simplifier les choses :
Il faut que l'espace soit tel que _{i \geq 0} $)
tel que :  \hspace{10cm} \exists n \in \mathbb{N} \hspace{10cm} : \hspace{10cm} V_{n} \subset V $)
et _{n \geq 0} $)
: une suite d'ouverts : 
un ouvert de tel que que 
n'est pas reunion de _{n \geq 0} $)
( ça veut dire qu'un ouvert de ne peut jamais s'ecrire comme reunion denombrable d'ouverts )
Pour simplifier les choses :
Il faut que l'espace
par legeniedesalpages » 15 Oct 2007, 22:49
Je pensais mais sans certitude: (et si ça marche, ça va etre du boulot pour vérifier)
On considère
l'ensemble des applications quelconques de 
dans lui-même. Pour toute 
, on appelle ensemble élémentaire de centre 
tout ensemble )
où ce symbole désigne l'ensembles des 
telles que -f_0(x_i)|0 et où les [TEX]x_i)
sont des points de [0,1].
On appelle ouvert de E toute réunion d'ensembles élémentaires.
L'ensemble de ces ouverts est la topologie de la convergence simple.
Mais si il y a une proposition plus simple, je suis preneur. :briques:
On considère
On appelle ouvert de E toute réunion d'ensembles élémentaires.
L'ensemble de ces ouverts est la topologie de la convergence simple.
Mais si il y a une proposition plus simple, je suis preneur. :briques:
par legeniedesalpages » 15 Oct 2007, 22:53
barbu23 a écrit::triste: Pourquoi ne pas chercher que sur des ensembles finis ( discrèts ) ?! c'est plus saisissable que les espaces de fonctions et les espaces
Sur les ensembles finis, l'axiome 1 entraîne l'axiome 2.
Donc ça marchera sûrement pas.
par barbu23 » 15 Oct 2007, 23:19
legeniedesalpages a écrit:Je pensais mais sans certitude: (et si ça marche, ça va etre du boulot pour vérifier)
On considère
On appelle ouvert de E toute réunion d'ensembles élémentaires.
L'ensemble de ces ouverts est la topologie de la convergence simple.
Mais si il y a une proposition plus simple, je suis preneur. :briques:
De manière générale :
Il faut que l'espace
par barbu23 » 15 Oct 2007, 23:44
Est ce que est un ouvert de la topologie de la convergence simple ? comment le montrer, je sais pas moi ?!
Bon, je vais voir ça plus tard !! Bonne nuit, "legeniedesalpages" !!
Bon, je vais voir ça plus tard !! Bonne nuit, "legeniedesalpages" !!
par legeniedesalpages » 16 Oct 2007, 02:25
On pose 
. On pourrait voir si la famille \ :\qquad (q,k,(x_1,\cdots,x_n))\in I\times \mathbb{N}^{\star}\times I^n))
(avec pour tout
) est un système de voisinages dénombrable.
Pour la non séparabilité (l'axiome 2, c'est ce que j'avais comme définition de la séparabilité si je me rappelle bien) on pourrait chercher une partie stricte de E qui est non dénombrable et fermée.
Il faudra peut être rajouter l'hypothèse que les éléments de E sont continues. :hein:
(avec pour tout
Pour la non séparabilité (l'axiome 2, c'est ce que j'avais comme définition de la séparabilité si je me rappelle bien) on pourrait chercher une partie stricte de E qui est non dénombrable et fermée.
Il faudra peut être rajouter l'hypothèse que les éléments de E sont continues. :hein:
par barbu23 » 17 Oct 2007, 11:48
Bonjour "legeniedesalpages" :
Ton exemple est difficile à digerer ... !! :hum:
Je sais même pas ce que c'est que la topologie de la convergence simple ... comment construit-t-on ses ouverts ?
Comment savoir si l'ensemble élémentaire de centre
est lui même un ouvert !!?
Merci d'avance !!
Ton exemple est difficile à digerer ... !! :hum:
Je sais même pas ce que c'est que la topologie de la convergence simple ... comment construit-t-on ses ouverts ?
Comment savoir si l'ensemble élémentaire de centre
Merci d'avance !!
par legeniedesalpages » 17 Oct 2007, 18:57
Je ne sais pas si ça marche pour l'ensembles des fonctions (continues?) de [0,1] dans lui-même avec la topologie de la convergence simple.
Ce n'est pas sûr qu'il soit séparable.
En tout cas ses ouverts sont définis comme union d'ensembles élémentaires. Reste à vérifier que c'est une topologie, et c'est clair que si c'est bien une topologie, un ensemble élémentaire est un ouvert pour cette topologie.
Pour l'anecdote, cet espace n'est pas métrisable. (On ne m'en a donné que deux, celui là que j'ai vu dans un exo, et celui-là que je n'ai pas eu l'occasion encore d'étudier: [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_(analyse_mathématique)#Espace_des_fonctions_test]http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_(analyse_mathématique)#Espace_des_fonctions_test[/url])
Sinon pour revenir à la quetion, on m'a conseille l'espace des suites
(espace vectoriel des suites bornées réelles munies de la norme sup). Cet espace est métrique donc admet en chacun de ces points un système fondamental de voisinages dénombrable, et n'est pas séparable.
Mais pour l'instant, je ne vois pas comment montrer que cet espace est séparable.
Ce n'est pas sûr qu'il soit séparable.
En tout cas ses ouverts sont définis comme union d'ensembles élémentaires. Reste à vérifier que c'est une topologie, et c'est clair que si c'est bien une topologie, un ensemble élémentaire est un ouvert pour cette topologie.
Pour l'anecdote, cet espace n'est pas métrisable. (On ne m'en a donné que deux, celui là que j'ai vu dans un exo, et celui-là que je n'ai pas eu l'occasion encore d'étudier: [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_(analyse_mathématique)#Espace_des_fonctions_test]http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_(analyse_mathématique)#Espace_des_fonctions_test[/url])
Sinon pour revenir à la quetion, on m'a conseille l'espace des suites
Mais pour l'instant, je ne vois pas comment montrer que cet espace est séparable.
par barbu23 » 19 Oct 2007, 07:03
Salut "legeniedesalpages" :
muni de la topologie discrète repond à la question ... !! Car une famille dénombrable d'ouverts ne peut contenir tous les singletons de qui n'est pas dénombrable ... !
par Joker62 » 19 Oct 2007, 11:19
http://saralegi.free.fr/Enseignement/ExercicesTopGenSol/Linfinito.pdf
Tiens, pôur la non-séparabilité de l^oo
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