Topologie produit !!

[barbu23]

Bonjour:
Voiçi une autre manière de definir la topologie produit ( Définition de notre prof donc celle qu'il faut que j'emploie ) :
Soient et deux espaces topologiques.
Un ouvert élémentaire de est un rectangle de la forme avec un ouvert de et un ouvert de .
Un ouvert de est une reunion quelconque de rectangles.
i.e :
est un ouvert si un ouvert de un ouvert de tel que : .
Les ouverts ainsi définis constitue une topologie sur appelée la topologie produit.

question :
Est ce qu'une intersection fini de rectangles n'est pas necessairement un ouvert de la topologie produit .. c'est ce que notre prof nous a dit l'autre jour, si je me rappelle bien ... Est ce que celà est vrai ?
Merci infiniment !!

[barbu23]

Non, c'est pas ça ce que j'ai envie de dire, j'ai oublié ce que le prof avait dit !! mais dans n'importe quelle topologien l'intesection finie d'une famille d'ouverts est un ouvert !!! :mur:

[barbu23]

Bonjour :
Es tec que vous pouvez me donner un exemple d'application continue bijective dont l'inverse est non continue !!
Merci d'avance !!

[barbu23]

Bonsoir :
Soit .
Soit .
Alors : est un ensemble topologique.
Determiner la topologie produit de l'ensemble .
Merci infiniment !!

[legeniedesalpages]

Bonsoir :
Soit .
Soit .
Alors : est un ensemble topologique.
Determiner la topologie produit de l'ensemble .
Merci infiniment !!

Bonsoir, encore une fois ton ensemble n'est pas une topologie. En effet pour une topologie sur , toute intersection finie d'ouverts doit être un ouvert, or n'est pas un ouvert.

Sinon pour répondre à l'autre post, considère l'ensemble muni de la topologie induite de la topologie usuelle de .
On considère alors l'application ( muni de la topologie induite de la topologie usuelle de ), telle que si , si .
est continue bijective, mais n'est pas continue en 1. (faire un dessin)

[barbu23]

Bonsoir, encore une fois ton ensemble n'est pas une topologie. En effet pour une topologie sur , toute intersection finie d'ouverts doit être un ouvert, or n'est pas un ouvert.

non, c'est une topologie ... est un ouvert !!

[legeniedesalpages]

oui pardon, décidément je dis n'importe quoi :hum:

[barbu23]

Est ce que : je crois que oui !!
Merci infiniment !!

[legeniedesalpages]

oui, car , or pour tout , . Donc aucun couple est dans .

[barbu23]

Alors :

[legeniedesalpages]

:lol: c'est vite grand. J'aurais pas eu le courage perso :lol2:

[barbu23]

:ptdr: non, avec "copier/coller" , ça devient facile, même pas trois minutes ... tout ça pour m'habituer avec la notion de produit topologie ... parceque que au début c'était la galère ... !
Bon, j'ai cherché d'abord, les ouverts élémentaires, ensuite j'ai fait leur intersection ensuite leur reunion et c'est là la difficulté ... !! finalement il n'y'a que les ouverts élémentaires , parceque l'union et l'intersection d'ouverts elementaires, ça donne que des ouverts elementaires !!

[aviateurpilot]

je voualis bien me lancer dans cette discussion, mais dommage!! vous parler icic de bcp de notion que je ne connais pas.

[legeniedesalpages]

tu n'as jamais fait de topologie aviateurPilot?

[barbu23]

Bonsoir, encore une fois ton ensemble n'est pas une topologie. En effet pour une topologie sur , toute intersection finie d'ouverts doit être un ouvert, or n'est pas un ouvert.

Sinon pour répondre à l'autre post, considère l'ensemble muni de la topologie induite de la topologie usuelle de .
On considère alors l'application ( muni de la topologie induite de la topologie usuelle de ), telle que si , si .
est continue bijective, mais n'est pas continue en 1. (faire un dessin)

oui, j'ai fait un dessein, et je trouve qu'en topologie usuelle, la fonction n'est pas continue en , mais pour la topologie induite, je crois que c'est autre chose !! Est ce que tu peux le montrer formellement à partir de la definition de la continuité ! ( parceque là, on est obligé d'utiliser les ouverts de la topologie induite et non pas de la topologie usuelle , Alors, est ce que ça change quelques choses ?!! )
La fonction réciproque est :

[barbu23]

Soit :
il faut chercher tel que :
Il faut faire un dessin

[barbu23]

ou bien proceder comme ça comme d'habitude :
et

[legeniedesalpages]

on fait avec les topologies induites,

il faut montrer que n'est pas continue en 1.
Donc il faut trouver un voisinage de tel que pour tout voisinage V de 1, on a .

Cela revient à trouver un tel que pour tout , on ait au moins un tel que

[CENTER] et , [/CENTER]

On considère les points .

On prend . Soit . Il existe un entier tel que .

Donc , et pourtant , et bien sûr

[barbu23]

Oui, voilà ... !! c'est la discontinuité qu'il faut montrer et non pas la continuité !! moi, je dis n'importe quoi !! :+++:
Merci "legeniedesalpages" !!

[barbu23]

Bonsoir :
On dit que satisfait au axiome de denombrabilité si admet un système fondamental de voisinages dénombrables.
est un système fondamental de voisinages de si :
.

On dit que satisfait au axiome de denombrabilité si possède une base dénombrable d'ouverts .
C'est à dire :
une suite d'ouverts tel que tout ouvert de : est reunion de
On dit que est separable s'il existe denombrable tel que :
Montrer que : axiome axiome.
Merci d'avance de votre aide !!