Topologie: points isolés et fermeture.

[Murene]

Dans le poly de Leborgne cité ici, pas covaincu par la preuve de Proposition 3.9, -7: si ts les pts de A sont isolés, alors A fermé. Quelqu'un aurait-il un avis?

[arnaud32]

E=[0,1] muni de la distance usuelle d(x,y)=|x-y|
A= {1/n, n in N*}
tous les points de A sont isoles B(1/n,(1/4)^n) inter A = {1/n}
or 0 est dans l'adherence de A mais pas dans A

[Murene]

@arnaud32.

Vous abordez un cas particulier qui semble contredire la proposition dont je demande la preuve: les points de A sont isolés, mais 0, qui n'en fait pas partie, est dans l'adhérence, tout en étant hors de A, soit un point d'accumulation. En particulier, A n'est pas fermé.

Voici les passages pertinents de la référence citée
http://imgur.com/PHkB32l
http://imgur.com/a/vc5Sf

C embêtant, parce que cette propriété est utilisé pour prouver une proposition importante: pour l^2 muni de la topologie forte (contrairement à R usuel), les compacts ne sont pas (nécessairement) les fermés bornés.

http://imgur.com/a/pSee5

[Pseuda]

Bonsoir,

"Si tous les points de A sont isolés, alors ils sont adhérents à A, donc A est égal à son adhérence, donc A est fermé."

Mais dans tous les cas, A est inclus dans son adhérence, donc la vraie question est la réciproque : est-ce que tous les points adhérents à A lui appartiennent ? Je suis d'accord, ce n'est pas montré.

[Murene]

Mais dans tous les cas, A est inclus dans son adhérence, donc la vraie question est la réciproque : est-ce que tous les points adhérents à A lui appartiennent ? Je suis d'accord, ce n'est pas montré.

Bonsoir,

Dans ce cas, quid de la Proposition 4.23: «F et les F_i fermés par ce que constitués de points sont isolés » ?

[pascal16]

Ca me rappelle un post d'il y a quelques temps.
La notion de point isolé c'est qu'il existe un visionnage (on va dire une boule de rayon r) autour de ce point tel que l'intersection de l'ensemble et de voisinage soit réduite à ce point.
Si par contre il existe un plus petit r ou simplement un minorant strictement positif, l'affirmation non démontrée devient vraie(R=1 pour N*N, mais r=0 pour {1/n, n€N*}).

[Pseuda]

Bonjour,

https://books.google.fr/books?id=mfGDSk ... g=PA151&dq

réponse à la question 8c. : l'ensemble {1/n, n>=1} est constitué de points isolés mais il n'est pas fermé.

[Murene]

L'auteur a mis à jour son poly. Pas encore regardé. https://www.isima.fr/~leborgne/IsimathT ... pologi.pdf