(Topologie) Fermeture d'une cellule d'un CW complexe n'est p

[David R.]

Bonjour,

Je suis entrain de lire le livre sur la topologie algébrique d'Hatcher et il y a quelque chose que j'ai de la difficulté à saisir. Dans le chapitre 0, Hatcher explique que la fermeture d'une cellule d'un CW complexe n'est pas nécessairement un sous complexe. Son contre-exemple est le suivant : Prenons le cercle de dimension 1 , avec sa structure cellulaire minimale (une cellule de dimension 0 qui est un point et une cellule de dimension 1 qui est le cercle sans ce point) et ajoutons une cellule de dimension 2 dont l'image est un sous-arc non trivial de . Alors, la fermeture de cette cellule de dimension 2 n'est pas un sous complexe, car elle ne contient qu'une partie de la cellule de dimension 1.

Je ne comprends pas très bien comment cette construction donne un CW complexe, car pour être un CW complexe, il faut que la fermeture de n'importe quelle cellule soit contenue dans l'union d'un nombre fini de cellules. Pourtant, il me semble que la cellule de dimension 2 ne respecte pas cette condition. Quelqu'un pourrait-il avoir l'amabilité de m'expliquer pourquoi j'ai tort?

Merci d'avance,
David

[Robot]

Je ne comprends pas très bien comment cette construction donne un CW complexe, car pour être un CW complexe, il faut que la fermeture de n'importe quelle cellule soit contenue dans l'union d'un nombre fini de cellules.

C'est bien le cas, puisqu'il n'y a qu'un nombre fini de cellules dans l'histoire : une 0-cellule, une 1-cellule attachée sur cette 0-cellule pour former un cercle, et une 2-cellule attachée sur ce cercle par un morphisme d'attachement dont l'image est un arc strictement contenu dans la 1-cellule.

[David R.]

C'est bien le cas, puisqu'il n'y a qu'un nombre fini de cellules dans l'histoire : une 0-cellule, une 1-cellule attachée sur cette 0-cellule pour former un cercle, et une 2-cellule attachée sur ce cercle par un morphisme d'attachement dont l'image est un arc strictement contenu dans la 1-cellule.

Merci pour ton aide. Toutefois, j'ai encore de la difficulté à comprendre. Dans un cours de topologie, j'ai eu une définition alternative de celle d'Hatcher pour les CW complexes. La voici :
Un CW complexe est un espace de Hausdorff tel qu'il existe des fonctions continues , ( est le disque de dimension , est simplement un indice) avec les propriétés suivantes :
1. restreint à (le disque ouvert de dimension n) est injectif (on appelle l'image de restreint à une cellule d'ordre n).
2. est l'union disjointe de ses cellules.
3. Chaque point qui est dans la fermeture d'une cellule, mais non dans la cellule elle-même doit être contenu dans une cellule d'ordre inférieur.
4. La fermeture de chaque cellule est contenue dans l'union d'un nombre fini de cellules.
5. Un sous-ensemble de est fermé si et seulement si son intersection avec la fermeture de chacune des cellules est fermé.

Je ne comprends pas comment construire qui correspondra à la cellule de dimension 2 en utilisant cette définition. Il me semble que soit la première ou la quatrième condition ne sera pas respectée.

[Robot]

Merci pour ton aide. Toutefois, j'ai encore de la difficulté à comprendre. Dans un cours de topologie, j'ai eu une définition alternative de celle d'Hatcher pour les CW complexes. La voici :
Un CW complexe est un espace de Hausdorff tel qu'il existe des fonctions continues , ( est le disque de dimension , est simplement un indice) avec les propriétés suivantes :
1. restreint à (le disque ouvert de dimension n) est injectif (on appelle l'image de restreint à une cellule d'ordre n).
2. est l'union disjointe de ses cellules.
3. Chaque point qui est dans la fermeture d'une cellule, mais non dans la cellule elle-même doit être contenu dans une cellule d'ordre inférieur.
4. La fermeture de chaque cellule est contenue dans l'union d'un nombre fini de cellules.
5. Un sous-ensemble de est fermé si et seulement si son intersection avec la fermeture de chacune des cellules est fermé.

Je ne comprends pas comment construire qui correspondra à la cellule de dimension 2 en utilisant cette définition. Il me semble que soit la première ou la quatrième condition ne sera pas respectée.

La définition que tu cites est bien sûr équivalente, et il n'y a aucun problème avec le CW complexe décrit par Hatcher, il satisfait bien toutes ces conditions. Tu n'as pas l'air d'avoir capté qu'il y a en tout et pour tout 3 cellules. Sinon, je ne vois pas pourquoi tu reviendrais à la charge avec le fait que l'adhérence de chaque cellule soit contenue dans l'union d'un nombre fini de cellules (elle-même et des cellules de dimension plus petite).
Je pense que ton problème est que tu n'arrives pas à visualiser l'objet en question. Essaie de te faire un dessin. Là, je n'ai pas le temps de t'en faire un.

PS. Voici un dessin :



L'attachement replie le cercle bord du disque sur un petit segment.

[David R.]

La définition que tu cites est bien sûr équivalente, et il n'y a aucun problème avec le CW complexe décrit par Hatcher, il satisfait bien toutes ces conditions. Tu n'as pas l'air d'avoir capté qu'il y a en tout et pour tout 3 cellules. Sinon, je ne vois pas pourquoi tu reviendrais à la charge avec le fait que l'adhérence de chaque cellule soit contenue dans l'union d'un nombre fini de cellules (elle-même et des cellules de dimension plus petite).
Je pense que ton problème est que tu n'arrives pas à visualiser l'objet en question. Essaie de te faire un dessin. Là, je n'ai pas le temps de t'en faire un.

PS. Voici un dessin :



L'attachement replie le cercle bord du disque sur un petit segment.

Merci beaucoup, je comprends maintenant. J'avais effectivement de la difficulté à voir que la transformation que tu as montrée, réduite à l'intérieur du disque, est injective. Merci encore! =)

[Robot]

Avec plaisir.