Topologie : ouvert

[Vupen]

Bonsoir,

On considère . On me demande si E est un ouvert. Si c'est un ouvert, on aurait :

, on a mais , donc E n'est pas un ouvert.

Correct ?

[mrif]

Bonsoir,

On considère . On me demande si E est un ouvert. Si c'est un ouvert, on aurait :

, on a mais , donc E n'est pas un ouvert.

Correct ?

le nombre r n'est pas nécessairement supérieur à 1. On sait seulement qu'il existe et qu'il est strictement positif.

Tu prends
On a:
et puisque est strictement supérieur à 1

[Vupen]

Je m'étais rendu compte que si je prenais la négation, fallait que cela marche pour tout r > 0 ... j'étais justement entrain de chercher le point y en question ... Merci !

[Vupen]

Pour montrer que c'est un fermé, on considère f(x,y) = x² + 5y². C'est une fonction continue de R² -> R. Et R² - E = f^(-1)(]1, +oo[) : image d'un ouvert par une fonction réciproque d'une fonction continue donne un ouvert. Donc E est fermé.

[Vupen]

Moyen de montrer ça "à la main" sans utiliser cette propriété ?

[Vupen]

Pourquoi {(x,0), x > 0} n'est ni ouverte ni fermée ? Je ne comprends pas trop la correction, cela dit en substance que l'ensemble n'est pas ouvert car tout pavé ouvert de R² contenant (x, 0) contient ]x-a, x+a[x]-b, b[ et un tel pavé ne peut etre inclus dans mon ensemble.

[mrif]

Pourquoi {(x,0), x > 0} n'est ni ouverte ni fermée ? Je ne comprends pas trop la correction, cela dit en substance que l'ensemble n'est pas ouvert car tout pavé ouvert de R² contenant (x, 0) contient ]x-a, x+a[x]-b, b[ et un tel pavé ne peut etre inclus dans mon ensemble.

Fais un dessin et tu remarqueras que toute boule de centre (0,0) rencontre la demi-droite ouverte {(x,0), x > 0} , cela montre que cette demi droite n'est pas fermée puisque son complémentaire n'est pas ouvert.

[Vupen]

Si j'ai bien saisi.

L'ensemble E n'est pas ouvert, car pour toute boule ouverte de centre x et de rayon r n'est pas incluse dans la demi-droite (c'est un disque).

L'ensemble n'est pas fermé car toute boule ouverte de R²-E de centre (0,0) intersecte la demi-droite en un point de coordonnées (r, 0) € E, donc n'est pas incluse dans R²-E.

[Vupen]

[mrif]

Si j'ai bien saisi.

L'ensemble E n'est pas ouvert, car pour toute boule ouverte de centre x et de rayon r n'est pas incluse dans la demi-droite (c'est un disque).

L'ensemble n'est pas fermé car toute boule ouverte de R²-E de centre (0,0) et de rayon r intersecte la demi-droite en un point de coordonnées (r, 0) € E, donc n'est pas incluse dans R²-E.

Oui c'est ça

[Vupen]

Merci ! :++: