Topologie ouvert fermé compact

[Raven]

Bonsoir ,

Je suis complétement perdue je ne sais pas comment prouver qu'un ensemble est ouvert ou fermé ou qu'une parti est compacte , trouver l'adhérence , intérieur ...
Je connais les définitions , mais je n'arrive pas à les appliquer .

Par ex : déterminer si ces ensembles sont des ouverts ou fermés et déterminer leur intérieur et adhérence

a={((x1,x2)ER² ; 1<=x1²<2 et |x1|<|x2|<2|x1|} dans R²
b={(x,x²,x^3)ER^3 ; 0<=x<1} dans R^3

Cette fonction est-elle uniformément continue ?
f(x)=x² , xER
Je sais qu'il faut montrer que la partie est compacte et que l'application est continue
Mais pour montrer qu'elle est compacte je bloque !

Merci

[Sourire_banane]

Bonsoir ,

Je suis complétement perdue je ne sais pas comment prouver qu'un ensemble est ouvert ou fermé ou qu'une parti est compacte , trouver l'adhérence , intérieur ...
Je connais les définitions , mais je n'arrive pas à les appliquer .

Par ex : déterminer si ces ensembles sont des ouverts ou fermés et déterminer leur intérieur et adhérence

a={((x1,x2)ER² ; 1<=x1²<2 et |x1|<|x2|<2|x1|} dans R²
b={(x,x²,x^3)ER^3 ; 0<=x<1} dans R^3

Cette fonction est-elle uniformément continue ?
f(x)=x² , xER
Je sais qu'il faut montrer que la partie est compacte et que l'application est continue
Mais pour montrer qu'elle est compacte je bloque !

Merci

Salut,

Je te propose qu'on y réfléchisse ensemble. D'une j'ai pas envie de te raconter des conneries et de deux je suis sur le même chapitre. Ca me fera un entrainement.
a est l'ensemble des vecteurs de R² dont les coordonnées x1 et x2 vérifient la condition voulue.
On cherche à délimiter une partie a de R² telle que 1 <= x1² < 2. C'est un découpage des valeurs que x1 peut prendre, c'est-à-dire les intervalles et .
Maintenant, |x2| pouvant se trouver entre |x1| et 2|x1| tu en déduis que x2 est dans et (Toutes fautes comprises).
Maintenant tu hachures le domaine que cela crée, et personnellement je trouve que cette partie n'est ni fermée ni ouverte (elle est fermée sur les bords où x1=1 ou -1 valeur comprise dans les intervalles correspondants).
Je me trompe complètement ?

[Raven]

Merci de ta réponse .
J'ai compris le début de ta réponse , mais je bloque au moment où tu dis tu en déduis que x2 est dans ]-2\sqrt{2},-1[ et ]1,2\sqrt{2}[ (Toutes fautes comprises). tu multiplie par 2 la deuxième coordonnée et la première non ?

Ensuite j'ai fait le dessin mais je comprend toujours pas comment tu vois qu'elle est fermée sur les bords ? c'est là où je sèche totalement ...

[Sourire_banane]

Merci de ta réponse .
J'ai compris le début de ta réponse , mais je bloque au moment où tu dis tu en déduis que x2 est dans ]-2\sqrt{2},-1[ et ]1,2\sqrt{2}[ (Toutes fautes comprises). tu multiplie par 2 la deuxième coordonnée et la première non ?

Ensuite j'ai fait le dessin mais je comprend toujours pas comment tu vois qu'elle est fermée sur les bords ? c'est là où je sèche totalement ...

J'ai pris le max des valeurs possibles de x1 en tant que borne extérieure, et le min pour la borne intérieure. Comme on considérait la valeur absolue, il m'a paru naturel de faire la distinction des cas.

Si tu as fait le dessin, tu as bien sûr surligné les endroits où on prend les valeurs (contrairement à d'autres bords qu'on exclut) non ?

[Raven]

J'ai hachuré de x1=1 fin la partie entre la droite x2=2x1 et x1=x2

[Sourire_banane]

http://flockdraw.com/zq09p

[jlb]

pour f, suppose qu'elle est uniformément continue sur R. Du coup pour epsilon=1, il existe étha>0 tel que pour tout x, y réel : |x-y|< étha implique ait |x²-y²|<1

on remarque alors que pour tout x positif, x et x+étha/2 vérifient |x+étha/2-x|<étha

du coup pour tout x réel positif, on doit avoir |(x+étha/2)²-x²|<1

i.e. étha²/4+xétha <1 pour tout x positif et cela n'est pas possible sinon R+ serait borné

en conclusion f ne peut être uniformément continue sur R

[Sourire_banane]

Oups désolé je m'étais trompé par rapport au dessin de l'ensemble :/
J'ai posé la question ce matin à mon prof et il fallait tracer les droites 2|x1| et |x1| puis encadrer l'intersection des domaines.
Au final, on obtient des sortes de trapèzes... Quoiqu'il en soit ça ne change pas le traitement de la question, et ce que je t'ai dit hier sur la manière dont distinguer un ouvert d'un fermé s'applique encore dans notre cas.

[Raven]

jlb , comment t'obtient le x+ etha /2?

[jlb]

jlb , comment t'obtient le x+ etha /2?

bah, là, c'est en cherchant: pour avoir x et y=x + etha/2 tels que |x-y|<etha et que |x²-y²| pose pb

sinon le etha c'est celui associé à epsilon=1 dans la définition de l'uniforme continuité

[Raven]

Je comprends pas le sur 2 . T'as x-y x + etha ? pourquoi sur 2?

[jlb]

Je comprends pas le sur 2 . T'as x-y x + etha ? pourquoi sur 2?

c'est juste pour le signe strict: |x-y|=etha/2<etha!!

[Ben314]

Salut,
Sans vouloir vous "caser la baraque", il me semble que pour savoir si une partie de R² est ouverte ou fermée, ça ne sert pas a pas à grand chose de la tracer :
Perso, si on me demande de "dessiner" les ensemble :
A={(x,y) t.q. x²+y²0 (car un tel disque contient (1-r/2,3/2) qui n'est pas dans A)
Il n'est pas fermé non plus car, pour tout n>=10, le point (racine(2)-1/n,2) est dans A mais la limite L=(racine(2),2) n'est pas dans A. (on peut de façon équivalente montrer que le complémentaire de A contient L mais ne contient aucun disque centré en L donc que le complémentaire n'est pas ouvert)

En général (donc on peut fabriquer des exeptions...)
- Si une partie de R^2 ou R^3 n'est définie qu'à l'aide d'inégalités strictes, elle est ouverte (comme dans R où ]a,b[={x t.q. a<x<b} est ouvert)
- Si une partie de R^2 ou R^3 n'est définie qu'à l'aide d'égalités et d'inégalités larges, elle est fermée (comme dans R où [a,b]={x t.q. a<=x<=b} est fermé)
- S'il y a un peu des deux, ce n'est ni ouvert ni fermé (comme dans R où [a,b[={x t.q. a<=x<b} n'est ni ouvert ni fermé)

[Sourire_banane]

Salut,
Sans vouloir vous "caser la baraque", il me semble que pour savoir si une partie de R² est ouverte ou fermée, ça ne sert pas a pas à grand chose de la tracer :
Perso, si on me demande de "dessiner" les ensemble :
A={(x,y) t.q. x²+y²0 (car un tel disque contient (1-r/2,3/2) qui n'est pas dans A)
Il n'est pas fermé non plus car, pour tout n>=10, le point (racine(2)-1/n,2) est dans A mais la limite L=(racine(2),2) n'est pas dans A. (on peut de façon équivalente montrer que le complémentaire de A contient L mais ne contient aucun disque centré en L donc que le complémentaire n'est pas ouvert)

En général (donc on peut fabriquer des exeptions...)
- Si une partie de R^2 ou R^3 n'est définie qu'à l'aide d'inégalités strictes, elle est ouverte (comme dans R où ]a,b[={x t.q. a<x<b} est ouvert)
- Si une partie de R^2 ou R^3 n'est définie qu'à l'aide d'égalités et d'inégalités larges, elle est fermée (comme dans R où [a,b]={x t.q. a<=x<=b} est fermé)
- S'il y a un peu des deux, ce n'est ni ouvert ni fermé (comme dans R où [a,b[={x t.q. a<=x<b} n'est ni ouvert ni fermé)

Oui oui, j'en ai discuté avec mon prof et effectivement souvent on voit assez rapidement si un ensemble est un ouvert ou non grâce aux inégalités strictes ou non qui caractérisent qu'on prend un "bord" de l'ensemble ou non.
Mais je voulais le dessiner à titre d'exemple

[Raven]

Mais comment vous voyez que " il contient le point (1,3/2) mais ne contient aucun disque ouvert centré en (1,3/2) de rayon r>0 (car un tel disque contient (1-r/2,3/2) qui n'est pas dans A)
Il n'est pas fermé non plus car, pour tout n>=10, le point (racine(2)-1/n,2) est dans A mais la limite L=(racine(2),2) n'est pas dans A" sans le dessin , même avec le dessin je ne comprends pas .

[Ben314]

A={((x,y) t.q. 1<=x²<2 et |x|<|y|<2|x|}
contient à la fois des inégalités strictes et des larges. Si elles ne sont pas "bidon", c'est qu'il n'est ni ouvert ni fermé (j'appelle "bidon" une inégalité qui ne sert à rie. par exemple si B={(x,y) t.q. x<3 et y<5 et x+y<=10}, l'inégalité x+y<=10 ne sert à rien)
Donc pour montrer que A n'est pas ouvert, j'utilise la seule inégalité large : 1<=x^2 et je prend un x qui donne l'égalité (donc x=1 ou x=-1) et un y quelconque pourvu que le reste soit vérifié. Il y aurra des x' aussi proche que je veut de ce x qui ne vérifieront pas 1<=x'² et ça montre que A n'est pas ouvert.
Idem pour montrer qu'il n'est pas fermé : je prend une inégalité stricte, par exemple x²<2 et un x qui donne l'égalité (par exemple x=racine(2)) et un y quelconque pourvu que le reste soit vérifié. Le point avec ce x là ne sera pas dans A, mais il y aura des points de A aussi proche que je veut de lui doc il est limite de points de A sans être dans A : A n'est pas fermé.

(et je sais pas trop à quoi me servirais un dessin dans un cas comme celui là...)

[Raven]

En effet oui , merci

[deltab]

Bonsoir

(et je sais pas trop à quoi me servirais un dessin dans un cas comme celui là...)

Pour toi peut-être (N'as-tu pas visualisé mentalement A et B?) Le dessin que tu n'as fait aidera grandement le lecteur à suivre ton raisonnement. Il verra de lui-même comment construire une suite dont tu affirmes l'existence sans pour autant la construire ( Le point avec ce x là ne sera pas dans A, mais il y aura des points de A aussi proche que je veut de lui doc il est limite de points de A sans être dans A : A n'est pas fermé.)