L'image reciproque d'un ouvert est un ouvert

[anouar437]

[FONT=Comic Sans MS]slt tt le monde[/FONT]
soit X,X' deux espace metrique f : X->X'
montrons l'équivalence suivants
1:f continue
2:V ouvert de X' alors f^-1(V) ouvert de X
3:F fermé de X' alors f^-1(F) fermé de X

pour 1=>2

je prends a dans f^-1(V) peut on trouver B(a,r)inclu dans f^-1(V) ??
f continue en a alors
klksoi s>0 il existe c>0 tel que klksoi x dans B(a,c) => f(x) dans B(f(a),s) (*)
a dans f^-1(V) alors f(a) dans V, V est ouvert donc il existe B(f(a),n) inclu dans V
revenons a (*) pour s=n
on a klksoi x dans B(a,c) => f(x) dans B(f(a),n)inclu dans V
donc on a klksoi x dans B(a,c) => f(x) dans V ( c est relative à s=n)
d'ou B(a,c) inclu dans f^-1(V) CQFD ???
svp si vous avez une remarque c'est avec plaisir