Topologie L2 dur

[capitaine nuggets]

Bonjour, on a vu la notion d'intérieur.
J'ai constaté par plusieurs exemples que l'intérieur d'une intersection est égal à l'intersection de l'intérieur et j'aimerais le prouver, mais là, j'ai vraiment pas d'idée.

Merci pour ceux qui pourront m'aiguiller.

[Luc]

Bonjour, on a vu la notion d'intérieur.
J'ai constaté par plusieurs exemples que l'intérieur d'une intersection est égal à l'intersection de l'intérieur et j'aimerais le prouver, mais là, j'ai vraiment pas d'idée.

Merci pour ceux qui pourront m'aiguiller.

Soit (E,T) espace topologique.
Soient A et B deux parties de E.
Montrons que par double inclusion.
est inclus dans , donc dans . De plus, c'est un ouvert. Donc il est inclus dans . En effet, est le plus grand ouvert inclus dans .
De même, est inclus dans . Donc est inclus dans , ce qui prouve la première inclusion.
Réciproquement, est inclus dans , donc dans , et est inclus dans , donc dans . Donc est inclus dans . De plus, est ouvert dans .
Donc est inclus dans . En effet,est le plus grand ouvert inclus dans .

Voila!