Théorème de Cayley Hamilton

[benekire2]

Bonjour,

Je suis actuellement sur un petit problème sur le théorème de cayley hamilton. Les outils a utiliser sont en principes élémentaires.

1. Soit des matrices de taille n telles que pour une infinité de x réels,



Montrer que sont nulles et en déduire un principe d'identification.

2. On note A une matrice de taille n de polynôme caractéristique
On défini la matrice C(x) par
Montrer qu'il existe des matrices telles que :



3. Montrer les relations suivantes :


...



4. a. Exprimer en fonction de A.

b. En déduire la théorème de Cayley Hamilton.


Voilà, alors pour les questions 1 et 2 j'ai pas eu de soucis.

Maintenant c'est pour la question 3 je vois pas du tout comment montrer ces relations. J'ai juste obtenue la première du fait que en regardant coef par coef dans la matrice

J'ai pas trop d'idées ..

Merci de votre aide !

[Ben314]

Salut,
Déjà, pour être "totalement carré-carré", le polynôme caractéristique d'une matrice A de taille nxn, ça commence par (-1)^nX^n et pas par X^n [a condition évidement que tu ait bien la définition la plus commune du polynôme caractéristique, c'est à dire P(X)=det(A-X.In). Certains auteurs (assez rares) prennent P(X)=det(X.In-A) pour éviter ce (-1)^nX^n...]

[benekire2]

Ah voui, j'oubliais, le polynôme caractéristique ici c'est det(xIn-A) , comme je connais pas la notion , je croyais que c'était le même de partout ..

[Skullkid]

Salut, quand tu vois apparaître une transposée de comatrice quelque part, c'est quasiment sûr qu'il faut faire appel à la formule .

[Ben314]

Sinon, (et plutôt en référence aux posts que tu m'as envoyé), ben li faut bien comprendre que, dans la question

Montrer qu'il existe des matrices telles que :

, ben on te demande pas l'expression des matrices mais seulement de montrer "qu'elles existent" (ce qui est trés trés nettement plus simple !!!)

[benekire2]

Salut skullkid , j'y ai effectivement pensé puisque c'est la seule chose a peu près que je connais sur les comatrices. Mais j'ai pas su l'exploiter .. mais en y réfléchissant, comme tu vient de me le dire, j'ai fini par trouvé :

Cela donne P=(xIn-A)C(x) qui est précisément ce que l'on veut.

Sinon, pour la 4a ça va , et la 4b je sais pas .. :

J'ai ni utiliser la 1 ou la 2 ou la 4a, juste la 3 : On additionne A^n+a_1A^(n-1) ... et on tombe directement sur 0 => c'est gagné. Bizarre .

[benekire2]

Sinon, (et plutôt en référence aux posts que tu m'as envoyé), ben li faut bien comprendre que, dans la question, ben on te demande pas l'expression des matrices mais seulement de montrer "qu'elles existent" (ce qui est trés trés nettement plus simple !!!)

Oui, mais le malaise était sur la question juste après :zen: celle ci ça allait :we:

Sinon, va venir la partie "application" du problème plein de jolies questions :ptdr:

[Ben314]

...a condition évidement que tu ait bien la définition la plus commune du polynôme caractéristique, c'est à dire P(X)=det(A-X.In). Certains auteurs (assez rares) prennent P(X)=det(X.In-A) pour éviter ce (-1)^nX^n...

Par curiosité, je suis allé voir Wikipédia (polynôme caractéristique) et, comme d'habitude, j'ai regardé les pages dans différentes langues : Ca semble assez partagé entre les deux définitions possibles.
Par contre ça m'a un peu surpris de voir P(X)=det(X.In-A) sur la page française...

[Ben314]

Oui, mais le malaise était sur la question juste après :zen: celle ci ça allait :we:

Pour la question d'aprés, c'est l'indic de Skullkid... (et ne surtout pas essayer d'exprimer les Ck à l'aide de la formule C(X)= transposé[cofact(X.In-A)]...)

[benekire2]

Pour la question d'aprés, c'est l'indic de Skullkid...

Oui je sais aussi :zen: (décidément lol ) et je l'ai réussie également, normalement j'ai conclus cette partie et donc le théorème de cayley hamilton :++:

Sinon, une première application :

1. a. Ecrire le développement de P(x+h) suivant les puissances de h à l'aide de la formule de Taylor.
b. Montrer que P'(x)=tr C(x)


Bon alors je ne comprends pas ce que veut l'énoncé dans la question a, quelle formule de Taylor ? ( celle des polynômes je présume .. ) et que veut dire suivant les puissances de h , pour moi

[Ben314]

Ben si on te demande "suivant les puissances de h", il me semble assez clair que ça veut dire écrire P(x+h)=?+?h+?h^2+?h^3... où les ? ne dépendent pas de h.
Il faut donc écrire que

[benekire2]

D'accord .. ça me paraissait pas hyper clair , finalement on en déduit la question b assez facilement.

Je pose les trois dernières questions du (très sympathique ) problème :

2. Montrer que pour tous les j entre 0 et n-1
3. Montrer que pour toute matrice de taille n :
=>
4. Soit F une famille d'endomorphismes nilpotents de L(E) stable par produit. Montrer que l'espace vectoriel engendré par { est constitué d'endomorphismes nilpotents.

[Il y a manifestement une faute de frappe sur la dernière questions, et j'ai toujours pas compris ce que ça voulait dire ,si jamais quelqu'un connait la question, merci de me dire de quel ev on parle ^^]

[Nightmare]

Salut,

4. Surement engendré par F non? :lol3:

[Skullkid]

Par curiosité, je suis allé voir Wikipédia (polynôme caractéristique) et, comme d'habitude, j'ai regardé les pages dans différentes langues : Ca semble assez partagé entre les deux définitions possibles.
Par contre ça m'a un peu surpris de voir P(X)=det(X.In-A) sur la page française...

Pour ma part on m'a enseigné , en précisant bien sûr que était aussi utilisée. Après, je sais pas quelle définition est la plus répandue chez les auteurs, mais perso je trouve ça plus joli d'avoir un polynôme unitaire (à ma connaissance toutes les propriétés utiles du polynôme caractéristique sont indépendantes du choix de la définition).

[benekire2]

Salut,

4. Surement engendré par F non? :lol3:

Merci nightmare :we:

Pour la question 3 , je pense qu'une récurrence pourrait faire l'affaire, en effet , on a d'après le théorème de Cayley Hamilton :
Initialisation a n=1 et hérédité:
A^n+...+det(A)In=0 et par passage à la trace , detA=0 donc A n'est pas inversible . Ensuite ça se corse ... et comme je suis pas sûr que les questions soient totalement indépendantes , je vais faire la 2 avant, et je n'ai pas d'idées pour commencer :--:

[Nightmare]

L'idée naturelle dans la 3 serait de montrer que le spectre de A est réduit à {0} !

[benekire2]

L'idée naturelle dans la 3 serait de montrer que le spectre de A est réduit à {0} !

Je veut bien mais pour moi c'est du chinois le spectre :zen: Je vais quand même voir a quoi renvoie cette notion

Merci !

[Nightmare]

spectre = ensemble des valeurs propres = racines du polynôme caractéristique !

[benekire2]

Ok !

Je vais y réfléchir encore un peu avant de demander de l'aide si jamais je bloque toujours,

sinon, pour la 2 comment je peut commencer ? Merci !

[Nightmare]

Sauf erreur, des égalités du 3. de ton premier post on obtient que puis on applique la trace pour j=0, 1 etc.

Edit : Plus rapidement en utilisant 1b, on a mais on a aussi donc par identification, on a ce qu'on veut