Preuve : Théorème Cayley-Hamilton

[Ben314]

ça, c'est (du verbe être) le théorème de Cayley-Hamilton et tu conclue que... rien d'autre que cette formule que tu peut évidement écrire où P est le polynôme caractéristique.

Après, si ça t'intéresse tu peut en chercher des corollaires dans des cas particulier, mais le théorème, c'est "juste" ça.

Et les ce sont les coeffs du polynôme caractéristique (regarde le début de la preuve). Il n'y a aucune raison qu'il soient nul. Le seul truc qu'on peut dire sur eux, c'est que (le terme dominant du polynôme caractéristique est toujours avec la définition Française du polynôme caractéristique)

Le polynôme caractéristique associé à la matrice A vu qu'on a posé est nul Donc en gros : par contre c'est faux de dire ?

On n'a pas du tout "posé que est nul" (je vois pas ce que ça veut dire d'ailleurs).
Par contre, si tu note le polynôme caractéristique de la matrice A alors, effectivement tu as (c'est le théorème que tu vient de montrer), mais je sais pas si ou non vu que je sais pas qui est ...

[Ncdk]

ça, c'est (du verbe être) le théorème de Cayley-Hamilton et tu conclue que... rien d'autre que cette formule que tu peut évidement écrire où P est le polynôme caractéristique.

Après, si ça t'intéresse tu peut en chercher des corollaires dans des cas particulier, mais le théorème, c'est "juste" ça.

Et les ce sont les coeffs du polynôme caractéristique (regarde le début de la preuve). Il n'y a aucune raison qu'il soient nul. Le seul truc qu'on peut dire sur eux, c'est que (le terme dominant du polynôme caractéristique est toujours avec la définition Française du polynôme caractéristique)

On n'a pas du tout "posé que est nul" (je vois pas ce que ça veut dire d'ailleurs).
Par contre, si tu note le polynôme caractéristique de la matrice A alors, effectivement tu as (c'est le théorème que tu vient de montrer), mais je sais pas si ou non vu que je sais pas qui est ...

Parfait j'ai vu merci, j'ai pu voir a travers un exemple, c'est mieux comme ça

Merci bien pour l'aide et une dernière chose, pourquoi on peut dire aussi :

Le théorème de Cayley-Hamilton nous indique que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.

Je ne comprends pas pourquoi cette chose est équivalente au théorème de base, donc équivalent a P(X)=0 (P polynôme caractéristique)

[Ben314]

Si tu as une matrice A,

1) Le polynôme caractéristique de A, c'est et le théorème de Cayley-Hamilton te dit que (matrice nulle).

2) Le polynôme minimal, c'est le polynôme unitaire qui engendre l'idéal (K[X] est principal donc tout idéal de K[X] est principal).
Donc, par définition même de , un polynôme vérifie ssi est divisible par .

Donc le théorème de Cayley-Hamilton est effectivement équivalent à " divise "