Théorème de cayley Hamilton

[acrobate23]

Bonjour,
Je souhaite résoudre cette exercice mais je ne sais pas par où commencer
Pouvez vous m'éclairer ?

Soit U, V dans Mn(C) montrer qu'il existe un polynôme Q de degré au plus n tel que pour tout x dans C tel que det(xU + V) =det(U) (x^n) + Q(x)

Merci d'avance

[Kolis]

Faire une récurrence sur le nombre de colonnes !
Par linéarité sur la dernière colonne :



Puis développer par rapport à la dernière colonne (ne contenant pas ) et appliquer l'hypothèse de récurrence.

[Kolis]

Inutile de faire apparaître le terme : il suffit de voir que est un polynôme de degré inférieur à .
Si polynôme de degré strictement inférieur à (il y a une erreur dans ton énoncé) tu écris et tu prends la limite pour .