Formules d'une matrice à la puissance n (Cayley-Hamilton)
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Calo
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par Calo » 14 Oct 2008, 17:44
Bonjour, une petite question parce que je crois m'être embrouillé dans les signes pendant la prise de notes :
Quelle est la formule de A^n si la racine a du polynôme caractéristique est double ?
(Je crois que c'est A^n = P(A) = P'(a).A + (P(a) - a.P(a)).Id mais je n'en suis pas très sûr
PS : A est une matrice de type (2,2)
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skilveg
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par skilveg » 14 Oct 2008, 17:51
Si j'écris
, et que je fais la division euclidienne de
par
, ça me donne:
. En évaluant en
:
. En évaluant les dérivées en
:
. Donc:
, et finalement
.
Est-ce que ça répond à ta question?
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Calo
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par Calo » 14 Oct 2008, 17:55
On n'a pas traité cela comme ça en cours.
En fait, j'utilise le polynôme P(X) = X^n et le polynôme caractéristique de A, de là si les racines du polynôme caractéristique de A sont les mêmes alors on a une formule (celle qui ressemble à celle évoquée plus tôt)
C'est les signes qui apparaissent dans cette formule dont je ne suis pas sur plus que la formule elle-même
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skilveg
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par skilveg » 14 Oct 2008, 18:53
Sinon, on a aussi par la formule de Taylor
où
est un polynôme, donc
. Mais ça donne encore
.
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