Theoreme de Cayley Hamilton

[miwa]

Salut !
Pourriez-vous m'expliquer comment le theoreme de cayley hamilton prouve l'existence de valeurs propres?

[adrien69]

Théorème de CH : les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique.
Théorème de d'Alembert : tout polynôme à coefficients complexes admet dans le plan complexe autant de racines que son degré.

[leon1789]

Salut !
Pourriez-vous m'expliquer comment le theoreme de cayley hamilton prouve l'existence de valeurs propres?

....l'existence de valeurs quand le corps de base est algébriquement clos (comme ).
Sur ou , il existe des matrices qui n'ont pas de valeur propre.

[L.A.]

Bonjour.

Le théorème de Cayley-Hamilton ne prouve pas l'existence de valeurs propres, ce sont deux choses différentes.

Les valeurs propres sont toujours exactement les racines (scalaires) du polynômes caractéristique (on peut voir ça comme une définition). Donc il existe une valeur propre ssi le pol. car. admet une racine.

Mais le thm de CH ne prouve pas l'existence d'une telle racine, il dit simplement que le pol. car. est un polynôme annulateur de la matrice. En quelque sorte, la matrice est une "racine" de son pol. car. dans l'anneau des matrices, mais ce qui n'a rien à voir avec les valeurs propres.

[leon1789]

L.A., tu as parfaitement raison. Je me sens un peu bêbête de ne pas l'avoir signalé...

[miwa]

Je vois, merci beaucoup ! C'est car je le trouvais dans tous les cours sur les valeurs propres sans une explication de son utilité. Donc si j'ai bien compris ce theoreme montre juste que le polynome s'annule non pas pour un scalaire mais pour une matrice.

[adrien69]

Ouh putain je suis con u_u