Ncdk a écrit:Bonsoir,
J'ai une présentation de cette preuve à faire pour la semaine prochaine, je pensais que j'allais totalement la comprendre mais en réalité certains points sont obscures encore.
Je voulais faire la preuve à l'aide de la Comatrice, je trouve que c'est dans mes cordes mais je suis bloqué à un certain endroit, voici ce que j'ai fais :
Tout d'abord, mon but est d'arriver à ça :
Je suis partit de cette expression qui me parait le mieux pour faire une preuve avec la comatrice :
En posant
Donc
On sait que qui est par définition le polynôme caractéristique.
On peut aussi l'écrire sous forme de somme tel que
Mais maintenant, je sais absolument pas comment je peux traduire sous forme de somme la
Je cherche quelques aides, indications et surtout explications, j'ai vu dans certains livres certaines choses mais sans trop d'explications, mon but est de comprendre tout ce que j'utilise et pourquoi je le fais
Merci d'avance
On sait que qui est par définition le polynôme caractéristique.
Sauf que, justement, ici, ce n'est pas le bon point de vue : il vaut bien mieux regarder le polynôme caractéristique comme un polynôme formel, c'est a dire que X c'est "l'indéterminée" des polynômes formels et il ne faut surtout pas se restreindre à la notion de fonction polynôme (i.e. à voir X comme un "scalaire").zygomatique a écrit:.... sauf que X désigne une indéterminée sur l'ensemble des scalaires ....
en remplaçant un scalaire par une matrice ça marche aussi ...
La matrice M-X.In, c'est une matrice dont les coefficients sont en fait des polynômes en X (constant ou du premier degré) donc ta comatrice est aussi une matrice dont les coeff. sont des polynômes en X (et un mini calcul montre que ce sont des polynômes de degré au plus n-1).
Sauf que, une matrice à coeff. des polynômes en X, tu peut l'écrire comme polynôme en X à coeff matriciels, c'est à dire sous la forme où les sont des matrices à coefficients constants (je te laisse réfléchir au pourquoi : c'est tout con...)
Partant de là, tu n'a plus qu'à développer
Non, on ne peut pas du tout remplacer X par une matrice : ça voudrait dire qu'on considère des matrices à coefficients... matriciels et, vu que le produit matriciel n'est pas commutatif, y'aurais à peu prés rien qui marche.Ncdk a écrit:Merci pour la petite correction du polynôme caractéristique, donc en fait, si dans le polynôme caractéristique on prends un X scalaire ou matriciel, ça fonctionne en fait, c'est ça que tu voulais me dire par :
Absoluemnt pas : le corps de base est... quelconque et la matrice M dont on part est... tout aussi quelconqueNcdk a écrit:Je voudrais pas dire de bêtise, mais bon je suis là pour apprendre et me tromper, mais M doit être semblable à une matrice diagonale pour utiliser ce théorème ?
Oui, c'est bien ça : lorsque tu développe complètement un déterminant (n-1)x(n-1), tu as une (énorme) somme de produits de n-1 termes de ta matrices. Si ces termes sont des polynômes de degré au plus 1, le résultat est un polynôme de degré au plus n-1.Ncdk a écrit:Ensuite pour la deuxième partie, le petit calcul dont tu me parles c'est ça :
avec qui sont les cofacteurs de la comatrice.
et par définition on appelle mineur dordre ou est la matrice obtenu en supprimant la ième ligne et la jième colonne donc au final c'est le principe du développement d'une matrice, du coup les termes de notre comatrice dont les coefficients sont des polynômes en X sont au plus de degrés n-1
Oui : il faut faire un vague laïus pour expliquer que, par exemple,Ncdk a écrit:En fait je vois pas pourquoi les sont des matrices à coefficients constants, c'est juste pour dire que quand on additionne tout on retombe sur notre matrice de départ, donc que les matrices ne dépendent pas de Avec k variant de 0 à n-1 ?
Ben314 a écrit:Absolument pas : le corps de base est... quelconque et la matrice M dont on part est... tout aussi quelconque
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Vu les calculs qu'on fait, on se fout complètement de ce qui est "au dessus" ou "en dessous" ou "sur" la diagonale...Ncdk a écrit:Mais si je comprends bien en fait, M-XIn, peut importe les termes qu'on a en dessous ou au dessus de la diagonale, car il seront inclus dans la c'est ça en fait l'idée ?
Ben314 a écrit:Sauf que, justement, ici, ce n'est pas le bon point de vue : il vaut bien mieux regarder le polynôme caractéristique comme un polynôme formel, c'est a dire que X c'est "l'indéterminée" des polynômes formels et il ne faut surtout pas se restreindre à la notion de fonction polynôme (i.e. à voir X comme un "scalaire").
Déjà, c'est plus agréable pour parler sans gène des matrices à coefficients polynomiaux (c'est des matrices sur l'anneau bien connu K[X]) et c'est indispensable pour démontrer Cayley-Hamilton dans toute sa généralité, c'est à dire sur un corps absolument quelconque (donc sur lequel les polynômes formels ne coïncident pas forcément avec les fonctions polynômes et sur lequel il sera illicite "d'identifier" les coeffs. des deux polynômes à coeff. matriciels si on les regarde comme des fonctions polynomiales)
Résumé : C'est un théorème d'algèbre donc il faut utiliser des outils d'algébriste (i.e. les polynômes formels et pas les fonctions polynômes)
Ben314 a écrit:Essaye de faire tout les calculs (la comatrice de M-X.In, les matrices A_0, A_1, A_2, le polynôme caractéristique, et tout et tout) en partant d'une béte matrice du style pour comprendre comment ça marche.
Vu les calculs qu'on fait, on se fout complètement de ce qui est "au dessus" ou "en dessous" ou "sur" la diagonale...
Sinon, fait gaffe aux notations : pour la plupart des auteurs, ce qu'on note Com(A), c'est la comatrice de A, c'est à dire la transposée de la matrice des cofacteurs qui elle est (éventuellement) notée Cofac(A). Dans ta formule, il ne faut pas prendre la transposée de la comatrice, mais la comatrice elle-même (ou alors tu écrit "transposée de Cofac(A)")Ncdk a écrit: est équivalent à pourquoi cela est vrai ?
Ben314 a écrit:La comatrice, c'est effectivement la transposée de la matrice des cofacteurs, mais au fond, tu t'en fout de la matrice des cofacteurs : la transposée d'une matrice à coefficients dans K[X] est elle même une matrice à coeff dans K[X] donc tu n'a pas vraiment besoin du passage à la transposée.
En tout cas, tu n'a pas besoin d'écrire la matrice des cofacteurs comme une somme de X^k.A_k (en général on écrit plutôt le X^k avant le A_k vu que c'est un truc du style lambda.A où lambda est un élément de l'anneau dans lequel on a pris les coeff. des matrices)
Concernant ton "truc manquant" de la fin, c'est en général pas bète de savoir que ça marche "dans les deux sens" sauf qu'en fait :
1) Ici, tu t'en fout : que tu utilise l'une ou l'autre des formules, ça ne te donne pas les même "petites égalités" concernant les matrices Ak, mais dans les deux cas, quand tu regroupe ces inégalités, ça donne le même résultat (Cayley-Hamilton)
2) Si tu sait que, par exemple, que la première formule est vrai pour toute matrice A, il te suffit d'appliquer cette formule à la transposée de A pour avoir la deuxième formule (en réfléchissant une peu pour voir pourquoi la transposée de la comatrice de A, c'est la comatrice de la transposée de A...)
Sinon, fait gaffe aux notations : pour la plupart des auteurs, ce qu'on note Com(A), c'est la comatrice de A, c'est à dire la transposée de la matrice des cofacteurs qui elle est (éventuellement) notée Cofac(A). Dans ta formule, il ne faut pas prendre la transposée de la comatrice, mais la comatrice elle-même (ou alors tu écrit "transposée de Cofac(A)")
Ben314 a écrit:euhhhh.....
Les "petits" , c'est pas des matrices, mais des scalaires et je pense que tu as vu (il y a fort longtemps, certes...) que, si M et N sont des matrices et un scalaire alors Mx(a.N)=(a.M)xN=a.(MxN) (ce qui traduit, en partie, le fait que la multiplication des matrices est bilinéaire)
Sinon, effectivement, lorsque deux truc sont égaux et que l'un des deux truc est nul, ça prouve que l'autre est lui aussi nul... :dodo:
Ben314 a écrit:Si tu ajoute tout les termes à gauche des "=", ça te fait 0 (la matrice nulle) donc la somme des termes à droite des "=" fait 0 et c'est le Théorème de Cayley-Hamilton (modulo de voir que ...)
Ben314 a écrit:"Philosophiquement parlant", on a effectivement remplacé les X^k par les M^k sauf qu'on en avait pas le droit du tout donc on a écrit toute les petites égalités entre les coeff. des deux polynômes à coefficients matriciels (qui évidement ne contiennent plus de X) puis on a multiplié ces égalités par des M^k.
Mais, mathématiquement parlant, on n'a jamais remplacé les X^k par des M^k.
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