Structures Algébriques !

[Lostounet]

Bonjour,

J'aborde pour la première fois le concept de structure algébrique. J'ai besoin d'un peu d'aide pour éclairer certains points, et préparer ma colle éventuellement!

Q4: Démontrer que
est un anneau

Alors pour montrer que j'ai un anneau, j'essaye de partir de la définition.

(Z, + ) est bien un groupe abélien car l'addition est commutative, mais comment je peux le montrer?
x est distributive par rapport à + ... par définition...
Z admet un neutre qui est 1, par rapport à x

Mais je dois aussi exploiter la "nature" de l'ensemble non?.

Merci de votre temps

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonjour,

J'aborde pour la première fois le concept de structure algébrique. J'ai besoin d'un peu d'aide pour éclairer certains points, et préparer ma colle éventuellement!

Q4: Démontrer que
est un anneau

Alors pour montrer que j'ai un anneau, j'essaye de partir de la définition.

(Z, + ) est bien un groupe abélien car l'addition est commutative, mais comment je peux le montrer?
x est distributive par rapport à + ... par définition...
Z admet un neutre qui est 1, par rapport à x

Mais je dois aussi exploiter la "nature" de l'ensemble non?.

Merci de votre temps

Si tu pars de la définition, ne devrais-tu pas plutôt montrer que est un groupe ?

rappel : :+++:

[jonses]

Bonjour,

J'aborde pour la première fois le concept de structure algébrique. J'ai besoin d'un peu d'aide pour éclairer certains points, et préparer ma colle éventuellement!

Q4: Démontrer que
est un anneau

Alors pour montrer que j'ai un anneau, j'essaye de partir de la définition.

(Z, + ) est bien un groupe abélien car l'addition est commutative, mais comment je peux le montrer?
x est distributive par rapport à + ... par définition...
Z admet un neutre qui est 1, par rapport à x

Mais je dois aussi exploiter la "nature" de l'ensemble non?.

Merci de votre temps

Essaye peut-être de montrer que c'est plutôt un sous-anneaux de R (c'est plus rapide à mon avis)

[Lostounet]

Salut !



Si tu pars de la définition, ne devrais-tu pas plutôt montrer que est un groupe ?

rappel : :+++:

Ah d'accord, "groupe commutatif " signifie "groupe" et "commutatif" :p

Donc pour montrer que Z[;)2,+] est un groupe, je montre que:

1) Pour tout x, y dans Z[;)2,+], j'ai:
x + y = a + b;)2 + c + d;)2 = (a + b) + (c + d);)2

y + x = (b + a) + (d + c);)2

+ est une loi de composition interne

2) Associativité de +:
z = d + f;)2
Je vérifie que
x + (y + z) = (x + y) + z

3) On a, pour tout x de Z[[;)2],+]:

x + e = e + x avec e = 0 + 0;)2 ?


4) Stabilité par passage à l'inverse, pour tout x de Z[[;)2],+], il existe un x'dans l'ensemble tel que:

x + x' = e
x' + x = e

avec x' = -a - b;)2 ...?

5) Commutativité, j'utilise les propriétés de + ?

[Sourire_banane]

Bonjour,

J'aborde pour la première fois le concept de structure algébrique. J'ai besoin d'un peu d'aide pour éclairer certains points, et préparer ma colle éventuellement!

Q4: Démontrer que
est un anneau

Alors pour montrer que j'ai un anneau, j'essaye de partir de la définition.

(Z, + ) est bien un groupe abélien car l'addition est commutative, mais comment je peux le montrer?
x est distributive par rapport à + ... par définition...
Z admet un neutre qui est 1, par rapport à x

Mais je dois aussi exploiter la "nature" de l'ensemble non?.

Merci de votre temps

Salut,

Tous les éléments de Z[sqrt{2}] sont des nombres de la forme c=a+b*sqrt{2} avec a et b entiers.
Soient c=a+b*sqrt{2} et d=a'+b'*sqrt{2} deux de ces nombres, alors tu remarques bien que x+y=y+x car (a+b*sqrt{2})+(a'+b'*sqrt{2})=(a'+b'*sqrt{2})+(a+b*sqrt{2})=a+b*sqrt{2}+a'+b'*sqrt{2}.
Z[sqrt{2}] admet un neutre qui est lui-même dans l'ensemble de départ car 1 s'écrit 1+0*sqrt{2}.
La loi x est distributive par rapport à + car c'est vérifié pour les réels en général.
Je vois pas ce que tu entends par "nature" de l'ensemble.

PS : Pfiou j'ai quand même raté 3 messages ! :doh:

[Lostounet]

Il faut montrer le neutre pour le groupe abélien muni de + PUIS le neutre pour x ?

[jlb]

Il faut montrer le neutre pour le groupe abélien muni de + PUIS le neutre pour x ?

oui et c'est 1 pour x

[jlb]

1) Pour tout x, y dans Z[;)2,+], j'ai:
x + y = a + b;)2 + c + d;)2 = (a + b) + (c + d);)2

y + x = (b + a) + (d + c);)2

+ est une loi de composition interne et tu as la commutativité de + car + commutatif dans Z


2) Associativité de +:
z = d + f;)2
Je vérifie que
x + (y + z) = (x + y) + z OK

3) On a, pour tout x de Z[[;)2],+]:

x + e = e + x avec e = 0 + 0;)2 ? OK


4) Stabilité par passage à l'inverse, pour tout x de Z[[;)2],+], il existe un x'dans l'ensemble tel que:

x + x' = e
x' + x = e

avec x' = -a - b;)2 ...? OK

5) Commutativité, j'utilise les propriétés de + dans Z ? oui

1=1 + 0rac(2) neutre pour x et il reste la distributivité de x par rapport à + (et la commutativité de x en passant même si c'est pas demandé!)

[Sourire_banane]

Q4: Démontrer que
est un anneau

Ecris de la manière suivante plutôt :

[Lostounet]

Et ensuite, je montre la distributivité de x par rapport à + ?

Il faut que montre
x*(y + z) = xy + xz?

(a + b;)2) *((c + d) + (f + g);)2))
....
Et je développe fastidieusement ?

Modif: lol je ne sais pas pourquoi j'ai mis un

[jlb]

Et ensuite, je montre la distributivité de x par rapport à + ?

Il faut que montre
x*(y + z) = xy + xz?

(a + b;)2) *((c + d) + (f + g);)2))
....
Et je développe fastidieusement ?

Modif: lol je ne sais pas pourquoi j'ai mis un

non: a(c+d) + 2b(f+g) + rac(2) (b(c+d) + a(f+g)) à la forme voulue, tu ne vas pas plus loin

(sinon, tu utilises l'argument de Sourire)

[jlb]

Et ensuite, je montre la distributivité de x par rapport à + ?

Il faut que montre
x*(y + z) = xy + xz?

(a + b;)2) *((c + d) + (f + g);)2))
....
Et je développe fastidieusement ?

Modif: lol je ne sais pas pourquoi j'ai mis un

oui ou tu utilises l'argument de Sourire