Séries

[minidiane]

Bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice:

Etuder le signe générale U_n de la suite (U_n) définie par:

racine carrée de (1+(-1)^n/n) -1

La série est-elle absoluement convergente? semi-convergente? divergente?

Je ne vois pas trop quel critère utiliser et j'essaye de mettre U_n sous une autre forme mais je n'y parvient pas.
Quelqu'un peut m'aider?

[fatal_error]

bonjour,

tu peux faire un Dl de la racine avec -1^n/n=x x tend vers 0 quand n tend vers linfini.
sqrt(1+x)=1+1/2x
Donc tu as la serie à étudier.

[minidiane]

ah ok merci
donc par le critère des séries alternées converge car 1/n est décroissante et tens vers 0.
D'où la série de U_n converge.
Par contre le signe générale U_n c'est quoi?

[fatal_error]

Concernant le signe, je pense que c'est negatif car si on fait des groupes de 2 termes,
(-1+1/2)+(-1/3+1/4)... es tune somme de termes négatifs, donc j'ai envie de dire que la somme est négative.

edit : c'est pas la la serie du début, donc en fait j'en sais rien.

[minidiane]

ok
en fait j'ai trouvé que pour n paire c'est positif et pour n impair c'est négatif.

[xyz1975]

Bonjour,
D'une manière générale lorsque le terme générale d'une série numérique se présente comme différence d'une suite et de sa limite on procède par DL en particulier les séries avec (-1)^n.
Il est clair que tend vers 1 lorsque n se rapproche de +infini, un DL s'impose, il s'agit d'écrire le DL de la fonction :
.
Mais le problème qui se pose, à quel ordre on va écrire le DL?
La réponse à cette question est :
Jusqu'à avoir un terme de type avec
soit convergente.
(des fois pour ne pas s'embrouiller avec le petit o on utilise les équivalences après avoir écrit un DL mais le signe constant pose pb dans certains cas)
(attention c'est une condition suffisante et non nécessaire).
Dans votre cas il faut écrire un DL à l'ordre 2 (sauf erreur).

[minidiane]

ok merci beaucoup pour ton aide :we:

[minidiane]

J'ai un aure exercice que j'arrive pas à faire!

Etudier le signe générale U_n de la suite (U_n) définie par:

(-1)^n/racine carrée de (n+(-1)^n)
La série est-elle absoluement convergente? semi-convergente? divergente?

Je ne vois pas trop quel critère utiliser et j'essaye de mettre U_n sous une autre forme mais je n'y parvient pas. J'ai pensé au DL de racine carré de (1+h) mais ici j'ai (-1)^n et cela me pose problème!

Quelqu'un peut m'aider?

[gol_di_grosso]

(-1)^n/racine carrée de (n+(-1)^n)
La série est-elle absoluement convergente? semi-convergente? divergente?

la valeur absolue de ta série est supérieur à 1/n qui diverge donc par comparaison elle (la valeur absolue) diverge

[ThSQ]

Ah ? diverge alors ?


Serious, fais un DL minidiane.


Sauf erreur c'est du donc ça converge

[gol_di_grosso]

Ah ? diverge alors ?

je voulais dire la valeur absolue :ruse:

[ThSQ]

Mmm .

[minidiane]

Je ne trouve pas le bon dl :marteau:

[gol_di_grosso]

Je ne trouve pas le bon dl :marteau:

et sinon avec le critère des séries alternées ?

[minidiane]

je peux pas tout faire avec ce critère!
Par contre je crois que j'ai trouvé là
J'ai
Mais après je ne sais pas trop comment faire, je sais que est semi-convergente (diverge pour la valeur absolue et sinon converge par le critère des séries alternées)
à l'autre partie me donnerait peut-être qui converge absoluement donc converge (converge Riemann)
donc j'aurai une série semi-convergente.
Est-ce que c'est ça????

[xyz1975]

Vous voulez étudier la convergence absolue de cette série ?

[gol_di_grosso]

je peux pas tout faire avec ce critère!

dans quelle sens tu dis ça ?

[xyz1975]

Le résultat qu'a trouvé THSQ est bon, faites un DL, ce dérnier montre que la série converge.
Remarque importante : (pour les séries alternées ou séries semblables aux série alternées)
Un DL vous semble difficile ou alors trop de calcul ou je ne sais pas, je vous conseille dans ce cas de chercher D'ABORD un équivalent de Un ensuite de calculer la différence entre Un et son équivalent (un individu dans la rue pourra dire mais c'est des DLs enfin de compte, on répond : en faisant la différence on explicite à ce moment là le reste et il y a beaucoup de séries de ce genre qui refusent les DLs comme approche pour en conclure sur la nature).
Calculez la différence puis cherchez un équivalent de cette différence.

[minidiane]

Vous voulez étudier la convergence absolue de cette série ?

oui c'est bien ça.
Ce que j'ai fait juste avant n'est pas correcte?
Cela ressemble au résultat donné par THSQ justement.
J'aimerai bien savoir si c'est comme cela qu'il faut procéder ou si c'est autrement.
JE n'ai peut-être pas fait le on dl!