Séries

[minidiane]

Bonjour,
je n'arrive pas à montrer que la série (-1)^n(1/(2n-1)!) converge et à donner sa somme.
Quelqu'un peut m'aider?
Merci

[busard_des_roseaux]

bjr,
cf série de Taylor de l'exponentielle: les termes d'ordre impair donne le sinus.

[minidiane]

oui j'ai pensé au sinus mais je pensais que pour le sinus c'était (-1)^n(1/(2n+1)!) et non (-1)^n(1/(2n-1)!) :briques:

[ThSQ]

oui j'ai pensé au sinus mais je pensais que pour le sinus c'était (-1)^n(1/(2n+1)!) et non (-1)^n(1/(2n-1)!) :briques:

! .

[minidiane]

euh ça m'aide pas trop est-ce que je me trompe????

[fatal_error]

Sinon pour 2n+1 et 2n-1, aprse reflexion je sais pas.

On peut toujours faire convergence absolue de 1/(2n+1)!

[minidiane]

pour la convergence je pense avoir trouvé j'ai utiliser le critère de d'Alembert mais pour la somme je ne vois toujours pas :briques:

[ThSQ]

Y a-t-il une si grosse différence entre une somme de (-1)^n/(2n-1)! (de 1à +°° j'imagine) et une somme de (-1)^n/(2n+1)! (de 0 à +°°) ?

[minidiane]

ah non en effet
je n'avais pas vu cela sous cet angle.
Par contre je bloque pour le calcul :briques:

[math_nour]

Y a-t-il une si grosse différence entre une somme de (-1)^n/(2n-1)! (de 1à +°° j'imagine) et une somme de (-1)^n/(2n+1)! (de 0 à +°°) ?

je pense pas qu il y a une difference :p mais si ça te derrange tu peux utiliser un changement de variable n=p+1 alors 2n-1 devient 2p+1

[minidiane]

Cela m'aide un peu mais je n'arrive toujours pas à trouver la somme

[busard_des_roseaux]

bjr,



la somme est commutativement convergente. On sépare les termes d'indices pairs et ceux d'indices imapirs . La première somme est réelle.
L'autre somme est imaginaire pur.



On sépare partie réelle et partie imaginaire car les coordonnées
étant continues.



Dans cette dernière somme, l'indice de sommation intervient sous la forme affine 2k+1 et la première valeur obtenue pour k=0 est 1.

On réécrit le terme général en faisant apparaitre la forme 2k-1 et on somme alors à partir de k=1.
2k+1 et 2k-1 ont la même parité et donnent la même alternance de signes.

Pour faire ce changement d'indices, on n'utilise pas la convergence commutative de la série car les deux paramètrages et paramètrent les termes de la somme dans le même ordre.

[Maxmau]

Bonjour,
je n'arrive pas à montrer que la série (-1)^n(1/(2n-1)!) converge et à donner sa somme.
Quelqu'un peut m'aider?
Merci

remarquez que le développement en série de sinx est
sinx = somme(n=1 à infini, (-1)^(n+1) x^(2n-1)/(2n-1)! )

[minidiane]

Merci à vous deux
par contre je n'ai pas très bien compris ce que tu veux dire busard_des_roseaux, j'ai bien compris qu'il fallait séparé les termes pair et impairs mais je n'ai pas bien compris pourquoi on a une somme imaginaire pur et l'autre réel. ni comment on l'obtient.
Peux-tu me réexpliquer stp
Merci

[alavacommejetepousse]

bonjour

que vaut

i^n suivant les valeurs de n ?

[busard_des_roseaux]

pourquoi on a une somme imaginaire pur et l'autre réel. ni comment on l'obtient.
Peux-tu me réexpliquer stp
Merci

oui, bien sûr.


Ce calcul d'exposant est valide dès que l'on a défini une loi associative.
c'est la cas pour la multiplication des complexes.

De même:


Ensuite, on peut permutter le nombre i avec le signe Sigma
car



ça vient du fait que le corps des complexes
est muni de la topologie produit (deux nombres z=x+iy et z'=x'+iy'
sont proches ssi leurs coordonnées le sont aussi).

[minidiane]

ok je comprend mieux déjà merci
je vais essayer de calculer ça.
Merci

[busard_des_roseaux]

minidiane,

j'ouvre une parenthèse:

est une fonction qui décrit l'enroulement
de la droite réelle sur le cercle. Elle est définie par une série, et comme tu souhaite le faire , on sépare partie réelle et partie imaginaire:




Les fonctions coordonnées du point sur le cercle sont donc décrites par des limites uniformes de polynomes, ce qui n'est pas trop étonnant (cf thm de Weiertrass)

Ce qui est plus étonnant, c'est qu'un polynome c'est vraiment quelque chose
qui n'est pas périodique. Que les applications cos et sin le soient est un très grand mystère !!