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par **minidiane** » 13 Juin 2007, 15:38

Bonjour j'ai besoin d'iade pour cet exercice.

Soit a diférent de 0. Soit f:R->R la fonction 2pi périodique définie par
f(t)=exp(at) si t [0,2pi].
a) Dessiner le graphe de la fonction f sur l'intervalle [-2pi,2pi]
b) Déterminer la série de Fourier de la fonction f.
c) Calculer la somme de la série
somme(de n=1 à l'infini) de 1/(n²+a²)

Pour le graphe je pense que c'est bon, mais je n'arrive pas à déterminer la fonction de fourier je n'arrive pas à calculer les coefficients de Fourier et encore moins à calculer la somme de la série de la question c.

par **Lierre Aeripz** » 13 Juin 2007, 16:00

Calcul les coefficients de Fourier complexes. C'est juste une exponentielle à intégrer. Tu devrais y arriver...
La dernière question se fait immédiatement avec l'égalité de Bessel-Parseval.

par **minidiane** » 13 Juin 2007, 16:05

J'ai donc calculé cn et je trouve (exp(2pi(a-in)) -1)/(2pi(a-in))
Est-ce que c'est correcte?

par **minidiane** » 14 Juin 2007, 07:40

Quelqu'un peut-il me dire si c'est correcte ou pas svp.

par **minidiane** » 15 Juin 2007, 07:51

Je n'arrive pas à faire la dernère question pouvez-vous m'aider svp?

par **thomasg** » 15 Juin 2007, 08:28

Pour les coeff de fourrier en utilisant exp(i*2n*pi)=1 on les simplifie en
(exp(2pi*a)-1)/(2pi*(a-in))

pour appliquer ensuite l'égalité de Parseval il faut calculer les carrés des modules des coeffs de fourier.

Si a est REEL (à me confirmer) ces carrés sont égaux à

k/a²+n² (k constante à calculer, à demander si tu n'arrives pas)

il reste à appliquer Parseval (en faisant attention aux indices).

J'ai pas le temps pour l'instant d'avancer plus le calcul.

A bientôt.

Ps: tu révises pour quel concours ou exam ?

par **minidiane** » 15 Juin 2007, 08:37

J'ai trouvé an=(a(exp(2pia)-1))/(pi(n²+a²) et bn=(-n(exp(2pia)-1)/(pi(n²+a²))
J'ai calculer a0 aussi et j'ai trouver a0=(exp(2pia)-1)/2pi
J'avais penser calculer f(0) pour la dernière question.
f(0)=1 et utiliser la série de Fourier pour t=0 mais je ne sais pas si c'est possible.
a0/2+somme (ancos(nt)+bnsin(nt))=f(0) comme t=0 on a bnsin(nt)=0
et à la fin je trouve que la somme que l'on cherche est = (-4pi+exp(2pia)-1)/(4a(exp(2pia)-1)
Est-ce que cela est possible?

ps: je révise pour les rattrapages qui ont lieux à partir du 21 juin.

par **thomasg** » 15 Juin 2007, 09:33

J'ai vérifié les an et la méthode, cela me semble bon.

Par Parseval ja n'ai pas réussi à aboutir, je tombe sur une intégrale que je n'arrive pas à calculer.

Je n'ai pas vérifié tes autres calculs.

A bientôt.

par **minidiane** » 15 Juin 2007, 09:51

ok merci.
Est-ce que quelqu'un peut vérifier que ma somme est juste?
svp
Merci

par **thomasg** » 15 Juin 2007, 21:02

La dernière question se fait immédiatement avec l'égalité de Bessel-Parseval.

Lierre, j'ai essayé de le faire et je suis tombé sur une intégrale un peu difficile (l'intégrale de gauss en fait) tu peux regarder ?

Merci

par **thomasg** » 15 Juin 2007, 21:20

Minidiane,

pour le a0 je ne trouve pas pareil: a0=[exp(2pi*a)-1]/(pi*a) , ce qui entraîne une première erreur dans ta somme,

il y a aussi me semble-t-il des erreurs de signe au numérateur,

j'obtiens:

[2pi*a-exp(2pi*a)+1]/[2a(a*exp(2pi*a)-1]

A bientôt.

par **minidiane** » 15 Juin 2007, 21:50

Maintenant je trouve a0=[exp(2pi*a)-1]/(2*pi*a) peux-tu vérifier stp.
Merci.

par **thomasg** » 16 Juin 2007, 08:34

J'ai calculé a0 de deux manières (certes équivalentes, mais c'était pour vérifier):

avec ta formule des an:

a0=[a(exp2pia - 1)]/(pi*(0²+a²)=(exp2pia - 1)/(pi*a)

en calculant:
(1/pi)*(int de 0 à 2pi(expat*cos(0*t)dt), j'obtiens à nouveau le même résultat.

Remarque: pour les coeffs complexes on divise l'intégrale par 2pi, pour les coeffs réels on divise l'intégrale par pi.

A bientôt.

par **fahr451** » 16 Juin 2007, 08:35

sauf pour pour a0

par **minidiane** » 16 Juin 2007, 08:48

C'est là que vient mon erreur j'avais diviser l'intégrale par 2pi.
Je trouve maintenant que la somme est égale à

Est ce que c'est juste?

par **minidiane** » 16 Juin 2007, 09:00

fahr451 a écrit:sauf pour pour a0

Je comprend plus très bien là.
Faut-il diviser pas 2pi ou par pi?

par **thomasg** » 16 Juin 2007, 09:02

Fahr, ce que tu proposes est certes tout à fait juste (comme toujours),

moi je conserve la même expression pour les a0 et ensuite lors de la somme je distingue le terme a0 et le divise par 2, contrairement aux autres.

je ne trouve pas le même résultat:

f(0)=a0/2+somme(an)
1=a0/2+[(a*exp(2pia)-1)/pi]*somme(1/(n²+a²)

donc

somme(1/(n²+a²)=[1-a0/2]*(pi/(a*exp(2pia)-1))
=[(2pia-exp(2pia)+1)/(2pia)]*(pi/(a*exp(2pia)-1))
=[2pia-exp(2pia)+1]/[2a*(a*exp(2pia)-1)]

ce qui correspond au résultat que je t'ai donné précédemment.

par **thomasg** » 16 Juin 2007, 09:07

Je comprend plus très bien là.
Faut-il diviser pas 2pi ou par pi?

Je t'ai répondu dans le message précédent, pour le calcul de a0 je divise par pi,

mais ensuite dans le calcul de la somme je commence par diviser a0 par 2,

ce qui revient comme le dit fahr à diviser par 2pi lors du calcul du a0.

La méthode que je propose à l'intérêt de permettre l'utilisation d'une formule unique pour le calcul des an (n variant de 0 a +inf)

A bientôt.

par **minidiane** » 16 Juin 2007, 09:07

Il me semblait qu'il fallait diviser par 2pi et après diviser a0 par 2 comme tu le dis.
J'ai utilisé a0/2 + somme (an)=(f(0+)-f(0-))/2
Il ne fallait pas utiliser cela?

par **thomasg** » 16 Juin 2007, 09:20

dans l'énoncé pour la définition de la fonction f, ce ne serait pas plutôt
t appartient à [0 ; 2pi[.

Moyennant quoi, je pense que tu as raison,
comme dans un message précédent tu avais proposé d'utiliser f(0)=1, je l'ai pris pour argent comptant, sans vérifier la continuité.

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