Series

[Jota]

Salut,
j'ai eu des difficultés à déterminer la nature de la série de terme général .

Merci d'avance.

[LB2]

Bonjour,

as-tu essayé de faire une transformation d'Abel? (analogue pour les séries de l'intégration par parties pour les intégrales)
J'ai peut-être parlé un peu vite, il n'est pas évident de montrer que soit bornée

[aviateur]

Bonjour
Je suis curieux de voir la solution. En effet il me semble bien que Abel ne permet pas ici de montrer la convergence. Si par exemple on avait eu au numérateur c'était OK.
Mais ici ce n'est pas le cas. D'autre part numériquement tout laisse à penser qu'il y a divergence.
Mais ça parait pas évident à démontrer, en tout cas pour moi.

[pascal16]

pour moi, c'est du même type que cos(sqrt(n))/sqrt(n)).

comme sqrt(n) n'est pas de type pi*q où q est un rationnel, on a une répartition statistique centrée sur 0 des valeurs de cos(sqrt(n)) , donc une suite avec des termes positifs et négatifs, suffisamment de signes alternés pour pour que la série converge.

[aviateur]

Rebonjour
Je ne suis pas d'accord. Voici les valeurs des sommes partielles pour n=0 à 3000 et de 100 en 100.

\{-2.4872,0.64211,-3.3544,0.47851,-2.1007,-2.5320,0.58684,-1.3950,-3.3309,-0.93126,0.60764,-1.5387,-3.3532,-1.9022,0.36447,0.12439,-2.1297,-3.3571,-2.1134,-0.0020455,0.56567,-0.93196,-2.8463,-3.2680,-1.8726,-0.024314,0.62563,-0.42095,-2.2260,-3.3172,-2.8817\}

Cela ne ressemble pas à un comportement de série alternée ou les valeurs minimales et maximales sont régulièrement dépassées

[pascal16]

les converges avec du 1/sqrt(n) sur du "statistiquement" ne sont pas toujours visibles facilement.*
On voit déjà qu'il n'y a pas de divergence lourde

si tu veux un résultat visuel, il faut faire la somme sur un "cycle" représentatif, par exemple sqrt(n) proche de 2kpi soit n = E(4.pi².k²), pour k = 100, 200 , 300 ...

{PS} : après un test info, j'ai des doutes aussi, la série semble osciller entre -3.5 et 3.5
les sommes partielles proportionnelles à 4pi² semblent elles converger vers une valeur fixe (sans doute que les différences des sommes partielles tendent vers la moyenne de racines de l'unité)
C'est quand même fort qu'elle semble bornée, suivre des pseudo cycles et donc ne pas converger

[LB2]

J'avoue mon incompétence en la matière... l'approche de sommations par paquets entre multiples de 2pi est intéressante mais je ne sais pas si ça peut aboutir

[aviateur]

les converges avec du 1/sqrt(n) sur du "statistiquement" ne sont pas toujours visibles facilement.*
On voit déjà qu'il n'y a pas de divergence lourde

Je ne sais pas ce que tu entends par divergence lourde. Si sont les sommes partielles , il existe une sous-suite qui converge vers + l'infini, ou -l'infini.? Autrement dit la suite n'est pas bornée.
De toute façon ça vraiment on ne peut pas le voir numériquement. En effet si la suite n'est pas bornée, la sous-suite qu'on va extraire et qui tend vers l'infini, le fera mais très lentement. Ce qui impossible à voir numériquement. Donc numériquement on se dit bien que ça converge pas mais c'est pas une preuve.
Que cela reste borné ou non c'est un second problème.
Franchement si ce problème a été résolu par quelqu'un j'ai l'impression qu'on doit utiliser des notions de la théorie des nombres.

[LB2]

Je n'y connais rien (enfin, pas assez) mais il n'y aurait pas moyen de mettre des nombre complexes là dedans et d'utiliser le théorème des résidus et une interversion série intégrale?

ça me fait penser à ce genre d'oscillations et ça peut être très difficile
https://mathoverflow.net/questions/2822 ... convergent

je crois que ce que pascal avait en tête, c'est que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est le cercle unité tout entier. Est-ce bien vrai?

[aviateur]

Bon je reste assez convaincu, pour moi la série diverge.
En fait j'arrive à montrer que la série n'est pas de Cauchy donc non convergente.

[LB2]

Moi aussi je suis convaincu que la série diverge désormais, je vais essayer de le rédiger. On peut considérer que augmente suffisamment lentement pour que le sinus soit "constant par morceaux" je pense

[aviateur]

Oui c'est exactement ça. J'ai un peu la flemme à bien tout rédiger mais en gros ça donne ça

on prend les entiers n compris entre (-Pi/3+2 k pi)^2 et (Pi/3+2 k pi)^2. Les cosinus de leur racine carrée sont >=1/2. Le nombre d'entiers compris entre ces 2 valeur est de l'ordre de k .
Alors on minore facilement la somme de cos(racine(n))/racine(n) pour n compris entre ces 2 valeurs par une cste >0 indépendante de k.
La suite n'est pas de Cauchy.
Si on mets ça au propre ça doit marcher.

[LB2]

Je démontre que la série de terme général diverge

Première méthode : sommation par paquets

dès que il existe tel que soit où est un intervalle centré en , de largeur

puis où quand k tend vers l'infini.

Cette série ne vérifie donc pas le critère de Cauchy, donc elle est divergente.
@aviateur : je n'avais pas vu ton message mais ça colle oui!

[aviateur]

Bon téléscopage. J'ai exactement la même démo sauf que pour la limite j'ai 4\pi/3 mais de toute façon c'est ça change rien.

[LB2]

J'ai ressorti le bouquin X-ENS tome analyse 1 et il traite cette série (et plus généralement la série de terme général pour )

Le cas est un cas limite car la série converge pour et diverge pour

Leur méthode pour le cas que l'on a traité est un peu différente : ils font un développement asymptotique de la différence et en déduisent (en utilisant le cas convergent alpha>1/2) que la série est de même nature que celle de la série de terme général . Là on le voit bien le télescopage!

[Jota]

Salut LB2, désolé mais j'arrive pas bien à suivre ton raisonnement!!

[LB2]

à quel endroit?
Connais-tu le critère de Cauchy pour caractériser la convergence d'une série?

La démonstration repose sur le fait que l'on exhibe une tranche de Cauchy (une somme sur un des I_k) ne tendant pas vers 0.

[Jota]

Salut LB2, au niveau de la largeur de

[LB2]

Par définition, I_k=[(2k pi - pi/3)^2, (2k pi + pi/3)^2]

[Jota]

Salut LB2, tu calcules la largeur de comment?