Séries

[ftrfy]

Bonjour,

je n'arrive pas à faire un exo de l'edhec ( voie ECE, le problème de 2001)

voici le sujet :






pour la partie 1:
question 2)
je ne comprends pas pour sommer l'intégrale : comment savoir les bornes de la somme?

autre question, après avoir la somme et l'intégrale (avec les bonnes bornes), que faire ensuite?
on se retrouve avec 1 intégrale, Pourquoi? et là aussi pourquoi les bornes de l'intégrale vont de 1 à n ??

voici le corrigé de cette question:






Pour la partie 2 :

je ne comprends pas à partir de la 2b


--> pour la 2b:


je me doute qu'il est nécessaire d'utiliser le télescopage vis a vis de la question précédente
MAIS dans la correction:





je comprends le " 2n+ la somme "
mais pourquoi ensuite on a le télescopage ?? on a la somme de 1/uk ^2 et on ne peut pas utiliser le télescopage vu qu'on a pas 2 termes qui se suivent ?
pourquoi on se sert ici et à ce moment précis du télescopage ?


autre chose: je comprends le un^2 -U0 ok
mais comment on passe du un^2 -1 à Un^2= 2n+1 + somme ??


pour la question 2c)


j'ai la correction :




enfaite c'est une méthode je pense mais je ne comprends pas,

du point de vue de la méthode pour montrer une inéquation, je dois faire passer ce qui m'intéresse de l'autre coté et voir si c'est >0 ??


pour la 3a)

je ne comprends pas du tout la méthode, ni ce qu'il faut faire ?
qu'elle est la méthode à faire pour montrer ca ?

voici le corrigé :





merci de votre aide!!

[Pseuda]

Bonjour,

Pour la partie I)2), on peut transformer la majoration obtenue à la 1) pour 1/(k+1) en une majoration pour 1/k avec k>=2, et faire la somme de 2 à n. Il restera le 1er terme (=1) de la série pour avoir la somme de 1 à n et obtenir Vn.

EDIT : Pas vu la solution proposée : elle fait un changement d"indice sur Vn : au lieu de sommer 1/k de 1 à n, elle somme 1/(k+1) de 0 à (n-1), ce qui revient au même, et elle isole le 1er terme en k=0, car l'intégrale est impropre avec la borne 0, donc en fait elle majore la somme de 1 à (n-1) avec l'intégrale, et elle isole le terme en k=0, qui est égal à 1.

Je ne sais pas si tout cela est bien clair pour toi.

[Pseuda]

Pour la question II)2)b), on calcule de deux façons différentes la somme U(k+1)^2-U(k)^2 pour k allant de 0 à n-1, la 1ère avec la formule trouvée à la question d'avant, la 2ème avec le téléscopage qui donne Un^2-U0^2, et on recolle les morceaux pour obtenir Un^2.

[Pseuda]

Pour la 2c), on a Un^2 = 2n+1 + un nombre positif. On en déduit Un^2 - (2n+1) = ce nombre positif, donc Un^2 - (2n+1) >=0, soit Un^2 >= (2n+1).

[Ben314]

Salut,
Sinon, en regardant en diagonale, il y a clairement une (grosse) faute de frappe à la question 3.(a) où il faut évidement lire :
En d\'eduire que pour tout

[Pseuda]

Pour la 3)a), il y a une erreur dans l'énoncé, c'est Un^2 <= 2n + 2 +1/2 V(n-1).

Ce coup-ci, on cherche à majorer Un^2, c'est-à-dire on veut écrire Un^2 <= ... .

En 2)b), on a Un^2 = 2n+1 + somme des 1/Uk^2 pour k allant de 0 à (n-1). Il faut donc majorer cette dernière somme. Pour la majorer, on peut majorer chacun de ses termes. Or en 2)c), on a Un^2 >= 2n +1, donc 1/Uk^2 <=1/(2k+1) (car tout est positif).

Il s'agit maintenant de calculer la somme des 1/(2k+1) pour k allant de 0 à (n-1). A partir de k=1, chaque 1/(2k+1) est < à 1/(2k) (car 2k+1 > 2k). En faisant la somme, on met 1/2 en facteur et on obtient V(n-1). On rajoute le terme en k=0, soit 1, et on a le résultat.

Si tu as eu le courage de me lire jusque là...

[ftrfy]

merci pour les réponses!!

Pour la partie I

EDIT : Pas vu la solution proposée : elle fait un changement d"indice sur Vn : au lieu de sommer 1/k de 1 à n, elle somme 1/(k+1) de 0 à (n-1), ce qui revient au même, et elle isole le 1er terme en k=0, car l'intégrale est impropre avec la borne 0, donc en fait elle majore la somme de 1 à (n-1) avec l'intégrale, et elle isole le terme en k=0, qui est égal à 1.

Je ne sais pas si tout cela est bien clair pour toi.

j'ai compris pour le coté gauche avec vn
mais le problème c'est avec ln(n)+1



comment passe t"on de la somme de l'intégrale à l'intégrale allant de 1 à n ?
pour savoir les bornes et comprendre ce passage, je pense qu'il est nécessaire de comprendre
les cas lorsque k=1 puis k=2 , nécessaire de savoir écrire en décomposant la somme de l'intégrale mais je ne sais pas faire :

j'ai fait quelques cas " à la main" pour k=1, puis 2 puis 3 et k=n-1
j'obtiens ceci:




c'est comme cela qu"on obtient l'intégrale souhaitée?
puis si c'est juste, il me manque le "1" dans le ln(n)+ 1


ce 1 correspond au 1 qu'on doit ajouter dans la partie de gauche et donc qu'on doit aussi ajouter à droite

ou ce 1 correspond à autre chose ?


parce que si on reprend le coté droit: j'ai sommé de 1 à n-1 mais il me manque l'intégrale allant de n à n-1
non ?

[ftrfy]

Pour la partie II, 2b)

Pour la question II)2)b), on calcule de deux façons différentes la somme U(k+1)^2-U(k)^2 pour k allant de 0 à n-1, la 1ère avec la formule trouvée à la question d'avant, la 2ème avec le téléscopage qui donne Un^2-U0^2, et on recolle les morceaux pour obtenir Un^2.

-->Je ne comprends pas pourquoi on doit faire de ces 2 façons?
pourquoi ne pas prendre juste le Un^2-U0^2 ?

pour le résultat final:
on fait passer le un^2 de l'autre coté , mais j'obtiens un -1 et non un +1 comme voulu dans le sujet


-->et autre chose : dans les exos j'ai souvent quelque chose comme un+1-un par exemple
puis après on me demande par exemple de Vn^2 et là je dois utiliser le télescopage
je fais ca par réflexe mais sans comprendre, pourquoi ce lien entre vn^2 et le télescopage?



POUR LA 2c)

Pour la 2c), on a Un^2 = 2n+1 + un nombre positif. On en déduit Un^2 - (2n+1) = ce nombre positif, donc Un^2 - (2n+1) >=0, soit Un^2 >= (2n+1).

c'est une question bête, mais je n'ai pas ce réflexe ( meme si j'ai compris)
merci !!


Pour la 3a)

Pour la 3)a), il y a une erreur dans l'énoncé, c'est Un^2 <= 2n + 2 +1/2 V(n-1).

Ce coup-ci, on cherche à majorer Un^2, c'est-à-dire on veut écrire Un^2 <= ... .

oui mais à part écrire que Un^2>= 2n+1
je bloque

on a le 2n+1+ somme <= 2n+2+ 1/2 Vn-1

et on sait que 2n+1 + somme >= 2n+1

donc il faut montrer que un^2 < 1+ 1/2 Vn-1

non?

et si oui comment faire ?


Pour la 3b)

je reviendrai vers la 3b un peu plus tard




MERCI pour les réponses!!

[Pseuda]

j'ai compris pour le coté gauche avec vn
mais le problème c'est avec ln(n)+1



comment passe t"on de la somme de l'intégrale à l'intégrale allant de 1 à n ?
pour savoir les bornes et comprendre ce passage, je pense qu'il est nécessaire de comprendre
les cas lorsque k=1 puis k=2 , nécessaire de savoir écrire en décomposant la somme de l'intégrale mais je ne sais pas faire :

j'ai fait quelques cas " à la main" pour k=1, puis 2 puis 3 et k=n-1
j'obtiens ceci:




c'est comme cela qu"on obtient l'intégrale souhaitée?
puis si c'est juste, il me manque le "1" dans le ln(n)+ 1


ce 1 correspond au 1 qu'on doit ajouter dans la partie de gauche et donc qu'on doit aussi ajouter à droite

ou ce 1 correspond à autre chose ?


parce que si on reprend le coté droit: j'ai sommé de 1 à n-1 mais il me manque l'intégrale allant de n à n-1
non ?

Bonsoir,

Oui c'est ça pour la somme de 1 à n-1, qui donne ln(n), et il ne manque rien, sauf le 1/(k+1) pour k=0, qui donne le 1 du ln(n) +1.

[Pseuda]

Pour la partie II, 2b)
-->Je ne comprends pas pourquoi on doit faire de ces 2 façons?
pourquoi ne pas prendre juste le Un^2-U0^2 ?

pour le résultat final:
on fait passer le un^2 de l'autre coté , mais j'obtiens un -1 et non un +1 comme voulu dans le sujet

Parce qu'on veut obtenir un résultat sur Un^2. Si on a juste le téléscopage = Un^2-U0^2, on n'est pas très avancé.
La finalité du problème est d'obtenir un équivalent simple de la suite (Un), en passant par l'étude de la suite (Un^2) : on cherche à obtenir une majoration et une minoration de cette suite.

C'est U0^2 qu'on fait passer de l'autre côté.

[ftrfy]

merci beaucoup!