Series

[Vlad-Drac]

Bonjour,
je cherche la nature de la serie de terme generale : Un=[(-1)^n]*sin(Pi*racine(1+n²))
on peu dire que comme la limite de Un quand n tend vers +inf ne converge pas alors la serie diverge ?

[Pseuda]

Bonsoir,

Le terme général de la série ne tend pas vers 0, donc la série diverge. Mais encore faut-il le montrer... (que Un ne tend pas vers 0).

[Ben314]

Salut,
Vu que la fonction racine carré a une pente (=dérivée) qui tend vers 0, l'écart entre racine(n²+1) et racine(n²)=n devient de plus en plus faible (*) et, comme sinus est uniformément continue, sin(racine(n²+1).pi) a la même limite (quand n->oo) que sin(n.pi)=0.
Bref, c'est clair que ton truc tend vers 0 et il est possible que la série soit convergente.

(*) Et perso., mais c'est peut être parce que je fait des math. depuis longtemps, ça me semble évident que la racine carrée de 1000^2+1 c'est égal à 1000 "plus un poil de cul" ne serait-ce que du fait que le carré entier qui est juste après 1000^2, c'est 1001^2 qui est pas mal "loin" de 1000^2 (précisément 2x1000+1 plus loin...)

[Kolis]

Bonsoir !
Je pense, comme @Pseuda, que la série est grossièrement divergente !
donc

[Ben314]

Bonsoir !
Je pense, comme @Pseuda, que la série est grossièrement divergente !
donc

Euhhhhhhhh,
Un éventuel... léger rappel... :
sin(0), sin(pi), sin(2.pi) et plus généralement sin(n.pi) avec n entier, ben ça vaut 0 et pas 1 ni (-1)^n...

Et si vraiment tu as des doute, ben sort une calculette et vérifie que lorsque n=1000.

[Pseuda]

Bonjour,

Oups j'ai répondu trop vite (m'en suis rendue compte ce matin avec un petit calcul).

=
=
.
qui tend évidemment vers 0 (car le cos est borné).

Désolée. Donc la série n'est pas grossièrement divergente. C'est une série alternée dont la valeur absolue du terme général tend vers 0. Mais ce n'est pas en décroissant.

On peut donc étudier la convergence absolue. Mais cela n'aboutit pas non plus (équivalence avec une série qui diverge).

On peut donc effectuer un DL sur le terme général de la série, avec
. Sans garantie et il y a peut-être plus simple.

[Ben314]

Donc la suite est à termes positifs et la série est divergente.

[Pseuda]

Oui elle est divergente.

[chan79]

Bonjour,

Oups j'ai répondu trop vite (m'en suis rendue compte ce matin avec un petit calcul).

=
=
.
qui tend évidemment vers 0 (car le cos est borné).

Joli calcul
Ce qui est un peu piégeux, c'est que la limite de ---> n'existe pas quand n tend vers en variant dans

[danyL]

bonsoir
je profite de ce sujet pour vous demander quelle est la différence entre une suite et une série ?
j'avais cherché un peu sur internet mais rien trouvé de clair
quelqu'un saurait m'expliquer simplement ? (les études sont loin)

[Ben314]

Une suite, ben au départ la définition mathématique, c'est la même qu'en Français : c'est des trucs "qui se suivent", sauf que que contrairement à "la vie courante", on s'autorise à avoir une infinité de truc qui se suivent.
Au niveau Lycée (voire début de post-bac), les "trucs", c'est des nombres réels (mais plus tard, ça peut être des objets de nature différent : des complexes, des fonctions, des matrices, des ensembles, etc...) donc une "suite de nombre réels", ben c'est par exemple
1 ; 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; 1/5 ; 1/6 ; .....
ou bien
1 ; -1 ; 1 ; -1 ; 1 ; -1 ; .....
ou n'importe quoi d'autre d'éventuellement bien plus compliqué où on donne une formule pour savoir qui va être le n-ième élément de la suite.

Alors que le terme de série, il est assez spécifique au maths (en tout cas, j'ai jamais trop fait le rapprochement avec ce que tu trouve dans le Larousse en face du mot "série") : ça correspond à faire la somme d'un certain nombre de truc (de nouveau, au niveau basique, c'est principalement des réels, mais ça pourrait être autre chose).
Donc une série, c'est par exemple
1+1/2+1/3+1/4+1/5+.... auquel on essaye de donner un sens (à priori, ajouter une infinité de réels, ça ne veut absolument rien dire)
Et une série, c'est en fait "reliée" à deux suites :
(1) La suites des termes que l'on somme, c'est à dire ici la suite 1 ; 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; 1/5 ; 1/6 ; ..... (et la série en question est appelée la série de terme général la suite 1 ; 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; 1/5 ; 1/6 ; .....)
(2) La suite des sommes partielles de la série, c'est à dire la suite consistant à regarder les sommes des premier termes de la série : 1 ; 1+1/2 ; 1+1/2+1/3 ; 1+1/2+1/3+1/4 ; 1+1/2+1/3+1/4+1/5 ; ...
dans laquelle n'apparait que des sommes finies (qui elles ont forcément un sens contrairement à la série elle même qui peut ne pas avoir de sens du tout)
Et en fait, quand on parle de propriétés de la série (par exemple "la série est convergente" ou bien "la série est croissante"), ça désigne des propriétés de la suite des sommes partielles.

[danyL]

ok merci Ben c'est clair
il me manquait que la série est une somme
sur le net bcp disent que série et suite c'est quasi la meme chose

[Pseuda]

Ce qui est un peu piégeux, c'est que la limite de ---> n'existe pas quand n tend vers en variant dans

Bonjour chan79,

Tu veux dire que la fonction définie sur par : ---> n'a pas de limite quand tend vers ?

Sur N, --->, donc la suite tend vers 0 (mais c'est une particularité de la fonction sin périodique sur des entiers de ), mais ceci ne tient plus sur R (à démontrer ). En effet de prime abord, on ne voit pas de limite, même si est très proche de n.

[pascal16]

si j'ai bien compris :

je cherche la nature de la série de terme générale : Un=[(-1)^n]*sin(Pi*racine(1+n²))

Un tends vers 0 par équivalence du DL
Un est un O(1/n) et toujours de même signe, la série ne converge pas
la série alternée de terme général sin(Pi*racine(1+n²)) convergerait.

[chan79]

Bonjour chan79,

Tu veux dire que la fonction définie sur par : ---> n'a pas de limite quand tend vers ?

Bonjour Pseuda
oui, c'est ça.
Pour tout entier , si on remplace par alors

idem pour obtenir -1

[Pseuda]

@chan79
On a deux suites et telles que et donc la fonction n'a pas de limite.

[chan79]

@chan79
On a deux suites et telles que et donc la fonction n'a pas de limite.

OK
Egalement, avec on arrive à