Séries et arithmétique

[Sylar]

Bonsoir ,voila un exo qui me semble très difficile:

On note p_n le nieme nombre premier (p1=2) ;montrer que la série pour n>=1 des : 1/p_n diverge....

Merci...

[Imod]

Tiens , cela me rappelle quelque chose ( pas facile ) .

Imod

[B_J]

Salut;
[url=fr.wikipedia.org/wiki/Série_des_inverses_des_nombres_premiers]fr.wikipedia.org/wiki/Série_des_inverses_des_nombres_premiers[/url]

[Joker62]

J'te donne la marche à suivre, mais je détaille pas naturellement.

Alors d'abord on utilisera le Lemme Suivant :

Soit une suite à termes négatif strictement.

Alors et sont de même natures

- On étudie alors la série des ln(1 - (1/p_i)) avec p_i le i-ième nombre premier.

On a
On apelle P le produit à l'intérieur du ln pour aller plus vite, et S la série des nombres premiers

On a alors P = exp(-S)
Donc pour montrer que S tend +oo, on doit montrer que P tend vers 0

On s'intéresse à 1/P

Alors tu es d'accord que
Pour tout i, on a p_i > 1
Donc 1/p_i +oo
P qui tend vers 0
Et donc S qui tend vers +oo

J'viens d'voir qu'on a poster la méthode de wiki,
Le passage est délicat, il dise que 1/P est égale à la Série Harmonique...

Enfin bref, c'est la même chose

[Sylar]

merci beaucoup :)