Un regard sur la conjecture de Collatz

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CAMI
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Re: un regard sur la conjecture de Collatz

par CAMI » 12 Aoû 2018, 17:31

Mea maxima culpa, j'ai fait des erreurs et je m'en excuse, je vais tenter pour la dernière fois de les réparer et serai très attentif à tout commentaires.
Voila mon dernier post :

Une suite de Collatz commence par un nombre entier positif non nul x(1), et la suite de Collatz est définie par les deux règles:
1- si un nombre x(i) est pair le nombre suivant x(i+1) = x(i)/2
2- si un nombre x(i) est impair le nombre suivant x(i+1)=3*x(i)+1
En fait la règle 1- peut s'écrire: si le nombre x(i) est pair il est de la forme (2*n-1)*2^k, n et k > 0, et on le divise par 2^k pour obtenir le nombre impair x(i+1) = 2*n-1.
Si x(i) est pair on défini donc x(i+1) impair = x(i)/2^k.
Ainsi tout nombre entier pair positif non nul x(i) a un successeur unique entier impair non nul x(i+1) et tout nombre entier impair x(i) a un successeur unique pair x(i+1).Tout nombre impair a donc un successeur impair unique ainsi que tout nombre pair a un successeur pair unique, aucun nombre pair ou impair multiple de 3 ne peut être un successeur, les nombres multiples de 3 ne peuvent être qu'en première position x(1).

On peut s'intéresser uniquement aux nombres impairs x(j), pour cela il faut définir comment les nombres impairs se précèdent dans une suite de Collatz puisqu'on a déjà défini comment ils de succèdent .
Tout nombre impair x(j) = ((6*n-5)*4^k-1)/3 ou x(j) = (2*(6*n-1)*4^(k-1)-1)/3
pour n de 1 à N et pour k de 1 à K, N et K aussi grand qu'on veut.
Tout nombre impair x(j) < ((6*N-5)*4^K-1)/3 est représenté une fois et une fois seulement pour un couple n, k donné par x(j) = ((6*n-5)*4^k-1)/3 ou x(j) = (2*(6*n-1)*4^(k-1)-1)/3.
Pour tout nombre impair x(1) = ((6*N-5)*4^K-1)/3, on a x(2) = 6*N-5.
Pour tout nombre impair x(1) = (2*(6*N-1)*4^(K-1)-1)/3, on a x(2) = 6*N-1.
Tout nombres impairs x(j) est de la forme 6*n-5 ou 6*n-1.

Donc tout nombre impair x(j) de la forme 6*n-5 aura pour prédécesseurs possibles:
x(j-1) = (x(i)*4^k-1)/3 avec k > 0 de 1 à K, si (x(i)*4^k-1)/3 est multiple de 3 alors x(1) = (x(i)*4^k-1)/3.
Et tout nombre impair x(j) de la forme 6*n-1 aura pour prédécesseurs possibles:
x(j-1) = (2*x(j)*4^(k-1)-1)/3 avec k > 0 de 1 à K, si (2*x(j)*4^(k-1)-1)/3 est multiple de 3 alors x(1) = (2*x(j)*4^(k-1)-1)/3.

Il est donc possible partant de x(j) de calculer tout x(j+1-i) possible pour i de 1 à j et il est évident que la suite x(j), x(j-1), x(j-2), ..., x(j-50), ..., x(3), x(2), x(1) est croissante avec quelques valeurs x(j-k) < x(j-k+1), la preuve en a était faîte par Tomas Oliveira e Silva qui a prouvé la validité de la conjecture de Collatz pour tout nombre < 91*2^50 soit une nombre de 17 chiffres 102456891522678784, ce qui précède apporte la preuve que la conjecture peut être vérifiée pour tout nombre aussi grand soit-il puisque partant de 1 on peut définir tout les x(j) possibles jusqu'à x(1) aussi grand que l'on veut, toute suite de Collatz se termine donc par 1 puis le cycle trivial.

Rappelons qu'un nombre impair x(j) < ((6*N-5)*4^K-1)/3 est représenté une fois et une fois seulement pour un couple n, k donné par ((6*n-5)*4^k-1)/3 ou (2*(6*n-1)*4^(k-1)-1)/3 et que tout nombre impair non multiple de 3 est représenté par 6*n-5 ou 6*n-1, de tous les nombres impairs 1 est le seul qui pour un couple n, k donne le même résultat pour les deux formules ((6*n-5)*4^k-1)/3 et 6*n-5, ((6*1-5)*4-1)/3 = 1 et 6*1-5 = 1 ce qui explique le cycle trivial, 1 est le seul nombre impair qui peut être à la fois sont prédécesseur et son successeur.
Aucun autre nombre impair que 1 peut se répéter dans une suite de Collatz puisqu'on a montrer que tout nombre impair successeur est différent de sont prédécesseur 1 excepté.



nodgim
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Re: un regard sur la conjecture de Collatz

par nodgim » Hier, 16:49

Tu n'as pas peur qu'on te vole ta découverte ?

Pseuda
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Re: un regard sur la conjecture de Collatz

par Pseuda » Aujourd’hui, 10:47

Bonjour,

Essayons avec la suite inverse. On part donc de 1 :
- on ne peut qu'aller à un nombre pair, soit 2 (un nombre impair serait inférieur à 1 : impossible)
- de 2, on peut aller à toutes les puissances de 2 : 4, 8, 16, 32, ...
- de 2, on peut essayer d'aller à un nombre impair : 3n+1=2, impossible ; comme tu l'as remarqué, pour aller à un nombre impair, il faut partir d'une puissance paire de 2 : 3n+1=4, soit n=1, on retombe sur 1
- sortons de ce cycle, avec 16 (8 ne marche pas vu plus haut) ; 3n+1=16, soit n=5 ; on obtient 5
- de là, on peut aller à 10, 20, 40, ...
- cherchons un nombre impair : on ne peut pas partir de 5 car 5=2²+1 ; 3n+1=10, soit n=3
- on obtient 6, 12, 24, ..., puis on est bloqué car multiples de 3
- on repart de 40 (20 ne marche pas) : 3n+1=40, soit n=13
- etc...

Comment peux-tu être sûr qu'avec ce procédé, on va aboutir à 7 ? Quelle est la suite des nombres qui part de 1 pour aboutir à 7 ? (je dis bien : qui part de 1, pas qui part de 7). Quelle est la suite des nombres qui part de 1 pour aboutir à 13246 ? Quel est le procédé algorithmique ? (je dis bien : qui part de 1 pour aboutir à 13246)

A mon avis, la suite inverse est la fausse bonne idée, elle ne fait que déplacer le problème, en l'inversant, mais c'est le même.

CAMI
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Re: un regard sur la conjecture de Collatz

par CAMI » Aujourd’hui, 12:07

la suite inverse des impairs qui conduit au nombre pair 13246=2*6623 est donnée ci dessous,
remarquez bien qu'aucun nombre impair de cette suite apparait 2 fois et qu'aucun d'eux est multiple de 3, de plus il ne exister aucune autre suite inverse de Collatz de nombres impairs conduisant de 1 à 6623, toute suite inverse de Collatz entre 1 et tout nombre impair > 1 est unique.
En ce qui concerne l'algorithme utilisé pour l'obtenir il vous suffit d'utiliser les formules décrites dans mon post précédent, et pour 1 à 7 trop facile: 1, 5, 13, 17, 11, 7 .
1
5
53
35
23
61
325
433
577
3077
2051
1367
911
2429
1619
1079
719
479
319
425
283
377
251
167
445
593
395
263
175
233
155
103
137
91
485
323
215
143
95
253
337
449
299
797
2125
11333
7555
10073
6715
8953
47749
63665
42443
28295
18863
12575
33533
22355
14903
9935
6623
Modifié en dernier par CAMI le 14 Aoû 2018, 14:46, modifié 1 fois.

Pseuda
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Re: un regard sur la conjecture de Collatz

par Pseuda » Aujourd’hui, 14:41

Quand je vous demandais comment on passe de 1 à 13246, c'était une image pour que vous réalisiez que vous ne sauriez pas déterminer le processus qui vous y conduit.

Bon, comment passe-t-on de 1 à N, N quelconque impair (pour simplifier). Quel est le processus, l'algorithme qui y conduit à coup sûr ? Pouvez-vous expliquer (dans le détail) pourquoi vous êtes allé de 1 à 5, puis de 5 à 53, etc..., pour aller à 13246 ?

Petite remarque : s'il y avait une autre suite inverse de Collatz qui mène de 1 à 6623, vous ne trouvez pas que ce serait légèrement bizarre ? Même question pour un nombre impair qui figurerait 2 fois dans la liste ? Même question pour un nombre impair multiple de 3 ?

CAMI
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Re: un regard sur la conjecture de Collatz

par CAMI » Aujourd’hui, 18:33

Je n'ai aucune raison de vous donner mon algorithme mais si vous en avez la capacité vous pouvez vérifier que pour aller de 1 à 10^n-125117 pour n= 10, 100, 1000, 10000, 100000 il faut trouver respectivement 70, 865, 8724, 86595, 863697 nombre impairs, pas la place ici pour les écrire tous!
Donnez moi un nombre impair N quelconque de 100000 à 150000 chiffres et je vous adresse par message privé les quelques 800000 à 1000000 ou plus de nombres impairs de 1 à N dans la journée sur un fichier .txt

 

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