Un regard sur la conjecture de Collatz

[FLBP]

Salut,
un piste à explorer si tu veux vraiment essayer de prouver cette conjecture est de te dire :
- Qu'est-ce qui pourrait empêcher un nombre de converger vers 1 :
--- Une boucle
--- Une suite chaotique

[CAMI]

J'ai connu à mon corps défendant la majoration de mes impôts , mais je ne connais pas de majoration à une suite à nombre infini de termes dont chacun aussi grand soit-il tend vers l'infini sans jamais l'atteindre , il est vrai que j'ai fait mes études de maths à l'époque où il n'y avaient que trois baccalauréats , Philo, Sciences expérimentales, et Mathématiques Elémentaires en 2 épreuves première et terminale et où seulement 25 à 30% des aspirants pouvaient accéder au diplôme, j'ai du manquer quelque chose dans ces 60 dernières années !!

[aviateur]

les commentaires sont peut être simultanés , ils n'en sont pas pour le moins tous erronés !
J'attend toujours une affirmation précise qui ne soit pas autre chose qu'une contre vérité!

On comprend bien que ce que tu appelles contre vérité c'est une vérité qui te dérange.
La nouvelle version est toujours indigeste à lire. Au passage tu n'es pas passé en mode Latex.

Je prend une seule ligne de ton "nouveau" texte.

Soit 3*n-2 et 3*n-1 tout nombre impair non multiple de 3, n entier positif de 1 à l'infini.

Mais c'est quoi ce charabia. Tu ne peux pas t'exprimer correctement? Personnellement, je ne comprends pas. Avec est un nombre pair.

Ce n'est pas une contre vérité, c'est une vérité.
Imaginons qu'il y ait un soupçon de quelque chose dans ce que tu dis et bien le travail à faire c'est d'être clair dans ton expression et ton écriture.

[nodgim]

@Cami:
Comment remontes tu la suite de 1 à 27 ?

[aviateur]

Et puis j'ai voulu regarder de plus près malgré tout s'il y avait quelque chose dans cette rédaction brouillonne.
Après quelques constatations élémentaires d'usages sur la forme possible "d'un ascendant" impair d'un nombre impair
j'arrive au coeur de la démonstration (en bleu ci-dessous suivi juste après de la conclusion) :

Le pénultième sera donc égal à (4^k-1)/3, k>1 et non multiple de 3, soit les nombres 5, 85, 341, 1365, 5461, 21845 ......, soit x le pénultième nombre choisi, l'antépénultième y sera de la forme (x*4^k-1)/3 si x est de la forme 3*n-2 ou (x*2^(2*k-1)-1)/3 si x est de la forme 3*n-1,
si y est multiple de 3 la suite n'a plus d'ascendant impair, on choisi donc un y non multiple de 3 et ainsi de suite.
Donc une suite inverse se termine par un nombre impair multiple de 3 et diverge vers (3*(2*n+1)*2^k ou diverge vers tout nombre impair infiniment grand multiple de 3 ou non, donc toute suite de Collatz converge vers 1 aussi grand soit le nombre initial choisi.

Mais le "ainsi de suite" qu'est ce que cela signifie, cela ne démontre rien. Et puis la conclusion "et diverge vers 3(2n+1) 2^k...." mais qu'est ce que cela veut dire? Le mot "diverge" doit avoir un signification précise dans un contexte précis.
Je suis désolé mais il n'y a rien de rien. Que cela plaise ou non?
Maintenant s'il y avait une solution simple de quelques lignes, on est en droit d'imaginer qu'il existe au moins un chercheur dans le monde qui aurait trouvé la solution depuis belle lurette.

[Pseuda]

ainsi tout nombre pair a un successeur unique impair et tout nombre impair a un successeur unique pair.
Il en découle que tout nombre impair a un descendant impair unique mais peut avoir une infinité d'ascendants impairs ou pairs.

Bonsoir,

Pour ma part, j'ai arrêté la lecture ici. Les définitions ne sont pas claires : successeur, prédécesseur, ascendant, descendant ? de la suite ou de la suite inverse ?

[aviateur]

Bonsoir
Pour alimenter un peu la réflexion:
Dans toute suite du pb 3x+1, on supprimera les termes pairs (on ne s'intéresse qu'aux termes impairs). Donc les nombres considérés par la suite sont des nombres impairs.
Avant tout pour savoir de quoi on parle, il serait bien d'introduire un vocabulaire le plus précis possible.
Soit une suite quelconque du pb. J'ai cru comprendre que pour un nombre impair, s'il est dans une suite du problème, il est de la forme et sont des ascendants.
Bien entendu un nombre impair peut apparaitre dans plusieurs suites différentes.
C'est clair qu'un multiple de 3 n'a pas d'ascendant.
Mais si je considère maintenant un nombre impair non multiple de 3 qui est dans une suite du pb 3x+1 qui contient. Si ce nombre est je dirai que n est son rang dans la suite en question.
Mais alors une première question importante, non évoquée par l'auteur du post alors qu'il s'est penché des mois sur le problème :
Existe-t-il des nombres impairs non multiple de 3 dont le sup de tous les rangs possibles possibles est fini?
D'ailleurs pourquoi une démonstration de la conjecture ne répond pas à une telle question?
Dans l'affirmative de la question donner un seul exemple d'un tel nombre.

[CAMI]

Il est connu que tout nombre entier positif de moins de 20 chiffres point de départ d'une suite de Collatz va conduire à 1 et donc au cycle trivial..
Quelque soit le nombre de 19 chiffres qui commence une suite de Collatz il est de la forme (2*n+1)*2^k si pair ou (2*n+1) si impair, ne sont concernés par la démonstration que les nombres impairs de la forme 3*n-2 ou 3*n-1 et leurs prédécesseurs dans une suite de Collatz.
Les suites inverses de Collatz commençant par 1 divergent toutes vers un nombre de 19 chiffres puisque toutes les suites de Collatz commençant par un nombre de 19 chiffres se terminent par 1.
Il est évident que chaque nombre impair 3*n-2 a pour prédécesseurs impair tout nombre impair x = ((3*n-2)*4^k-1)/3 et chaque nombre impair 3*n-1 a pour prédécesseurs impair tout nombre impair y = ((3*n-1)*2^(2*k-1)-1)/3.
Si on choisi les valeurs de x ou y non multiple de 3 on aura une suite qui aura toujours un prédécesseur tel que défini qui continue à diverger vers des nombres impairs de plus en plus grands, si on choisi x ou y multiple de 3 la suite inverse diverge vers (3*(2*n+1)*2^k.
Donc toute suite de Collatz converge vers 1.

[nodgim]

Raté !
Ce n'est pas parce que tous les nombres de 20 chiffres finissent à 1 que ceux à 21 chiffres aussi.
Ce n'est pas parce que depuis le nombre 1 la suite inverse donne une infinité de nombres qu'elle donne tous les nombres (tu as bien vu qu'il fallait pour remonter multiplier un nombre par 2 ou 4, ce qui laisse pas mal de trous dans la suite ordonnée des entiers).
Rien n'empêche à priori l'existence d'une "bulle " de nombres qui forment une boucle au lieu de redescendre à 1.
D'ailleurs, si tu remplaces dans 3n+1 le 1 par un nombre impair b non multiple de 3, il existe une infinité de boucles dont il suffit au départ de définir le nombre de multiplications par 3 et le nombre de divisions par 2: le nombre de départ a, et b se calculent alors facilement. L'ennui, c'est qu'on n'a pas trouvé de couple (a;b) tel que b divise a, sinon le problème serait résolu par ce contre exemple.

[aviateur]

Bonjour
Bien sûr, il faut lire les remarques de @nogdim.
Mais il y un point qui m'échappe. Pourquoi @Cami tu exclues les multiples de 3 impairs? Je ne vois vraiment pas pourquoi?

[CAMI]

J'ai suivi certains conseils et j'ai donc rédigé ce qui suit pour ceux qui ne veulent pas faire trop d'efforts mais cela va rester hermétique pour ceux qui ne veulent en faire aucun !
La conjecture de Collatz est que toute suite de Collatz atteint 1, une suite de Collatz commence par un nombre entier positif quelconque x(1), et la suite de Collatz est définie par les deux règles:

1- si un nombre x(i) est pair le nombre suivant x(i+1) = x(i)/2
2- si un nombre x(i) est impair le nombre suivant x(i+1)=3*x(i)+1

En fait la règle 1- devrai s'écrire si le nombre est pair, il est de la forme (2*n+1)*2^k et on le divise par 2^k, ainsi il devient clair que tout nombre pair a un successeur unique impair et tout nombre impair a un successeur unique pair.
Il en découle que tout nombre impair a un descendant pair unique puis un descendant impair unique mais peut avoir une infinité d'ascendants pairs ou impairs.
Une suite de Collatz ne peut avoir qu'un seul descendant impair multiple de trois et ce descendant x(i) est obligatoirement le résultat de la division de 3*(2*n-1)*2^k par 2^k, soit x(i)=3*(2*n-1), ensuite il ne peut plus exister de descendant impair multiple de 3.

Soit 3*n-2 et 3*n-1 tout nombre impair non multiple de 3, n entier positif de 1 à l'infini.
Il est facile de démontrer que tout ascendant impair de 3*n-2 est de la forme:
((3*n-2)*4^k-1)/3 car multiplié par 3 +1 et divisé par 4^k on obtient 3*n-2 quelque soit n.
Il est facile de démontrer que tout ascendant impair de 3*n-1 est de la forme:
((3*n-1)*2^(2*k-1)-1)/3 car multiplié par 3 +1 et divisé par 2^(2*k-1) on obtient 3*n-2.

Ce qui est remarquable c'est que pour n entier positif de 1 à l'infini et k entier positif de 1 à l'infini tout nombre impair est représenté une fois et une fois seulement par l'une des 2 équations ((3*n-2)*4^k-1)/3 ou ((3*n-1)*2^(2*k-1)-1)/3 et tout nombre impair non multiple de 3 est représenté une fois et une fois seulement par les équations 3*n-2 ou 3*n-1.

Tout nombre pair x(i) = (3*n-2)*4^k aura pour descendant impair (3*n-2) et comme ascendant impair ((3*n-2)*4^k-1)/3.
Tout nombre pair x(i) = (3*n-1)*2^(2*k-1) aura pour descendant impair (3*n-1) et comme ascendant impair ((3*n-1)*2^(2*k-1)-1)/3.
Tout nombre pair x(j) = (3*n-2)*2^j avec 2^j < 4^k aura pour descendant impair (3*n-2) et n'aura pas d"ascendant impair et les ascendants pairs seront de la forme (3*n-2)*2^h.
Tout nombre pair x(j) = (3*n-1)*2^j avec 2^j < 2^(2*k-1) aura pour descendant impair
(3*n-1) et n'aura pas d"ascendant impair et les ascendants pairs seront de la forme
(3*n-1)*2^h.

Pour démontrer la conjecture de Collatz supposons le problème résolu, toute suite de Collatz se termine par 1, si il est possible partant de 1 de définir toute suite inverse de Collatz qui peut atteindre tout nombre pair ou impair quelconque la démonstration est faite.

Tomas Oliveira e Silva a prouvé que pour tout nombre entier positif < 91*2^50 soit
< 102456891522678784 la suite de Collatz se termine par 1.
C'est la démonstration que toute suite inverse de Collatz commençant par 1 diverge vers un nombre de 17 chiffres au moins.

Pour tout nombre impair de 17 chiffres de la forme 3*(2*n-1) les seuls ascendants possibles sont pairs de la forme 3*(2*n-1)*2^k avec k tendant vers l'infini, et on a une suite qui diverge vers l'infini, x(i) = x(i-1)/2, x(i-1) = x(i-2)/2, x(i-2) = x(i-3)/2 ... etc.
Pour tout nombre impair x de 17 chiffres de la forme 3*n-2 ou 3*n-1 on peut définir une suite de nombres impairs ascendants de x(i) avec la règle :
1- si x(i) est de la forme 3*n-2, x(i-2) = (x(i)*4-1)/3 ou x(i-2) = (x(i)*16-1) si (x(i)*4-1)/3 est multiple de 3.
2- si x(i) est de la forme 3*n-1, x(i-2) = (x(i)*2-1)/3 ou x(i-2) = (x(i)*8-1) si (x(i)*2-1)/3 est multiple de 3.
Donc pour tout nombre impair non multiple de 3 on aura :
x(i-2) = (x(i)*a-1)/3 avec a = 2, 4, 8 ou 16 et x(i-1) = x(i)*a
x(i-4) = (x(i-2)*a-1)/3 avec a = 2, 4, 8 ou 16 et x(i-3) = x(i-2)*a
x(i-6) = (x(i-4)*a-1)/3 avec a = 2, 4, 8 ou 16 et x(i-5) = x(i-4)*a et ainsi de suite sans fin.

Il est donc démontré que toute suite inverse de Collatz diverge vers de trés grand nombres pairs ou impairs ou s'arrête à tout entier positif fini.
Donc toute suite de Collatz converge vers 1 et il ne peut exister aucun autre cycle que le cycle trivial.

[Ben314]

Bon, ben le moins qu'on puisse dire, c'est que "c'est complètement creux" et sans le moindre intérêt.

A la limite, on peut conserver des passages comme celui là qui vaut son pesant de cacahuètes :

Pour démontrer la conjecture de Collatz supposons le problème résolu, toute suite de Collatz se termine par 1....

Pour montrer que la terre est plate, on va commencer par supposer qu'elle est plate. Forcément on sent bien que ça va aider, sauf que...

Sinon, à mon avis, si tu veut que ton truc ressemble (vaguement) à des mathématiques, à mon avis il faudrait commencer par se pencher sur le sens qu'à le vocabulaire mathématique (ou alors ne pas l'utiliser) :

C'est la démonstration que toute suite inverse de Collatz commençant par 1 diverge vers un nombre de 17 chiffres au moins.

Dire qu'une suite "diverge", ben ça veut dire qu'elle ne converge pas. Donc de dire qu'une suite "diverge vers quelque chose", ça n'a pas le moindre sens.

Il est donc démontré que toute suite inverse de Collatz diverge vers de trés grand nombres pairs ou impairs ou s'arrête à tout entier positif fini.

Idem : phrase sans aucun sens : "diverger vers" ne veut rien dire et "s'arrêter à tout entier positif fini", je vois vraiment pas ce que ça pourrait signifier (sans parler du fait qu'un entier qui ne soit pas un "entier fini", je vois pas bien ce que ça pourrait être...)

Donc toute suite de Collatz converge vers 1 et il ne peut exister aucun autre cycle que le cycle trivial.

Vu ce qu'il y a au dessus (à savoir une suite de banalités banales concernant qui on peut voir comme successeur de qui et vice versa), la conclusion, c'est exactement du même tonneau que le fameux "Voilà justement ce qui fait que votre fille est muette"....

Ca donne vaguement l'impression que tu pense que ton truc montre que tout entier naturel A appartient à ce que tu appelle "une suite inverse de Collatz", sauf qu'il n'y a absolument rien dans ton Laius au dessus qui prouve une telle chose : tu construit certes des "suites d'ascendant", mais il n'y a pas le début de la moitié d'un argument prouvant que ces fameuses suites "recouvrent" l'ensemble de tout les entiers naturels.

[aviateur]

Bonjour

si il est possible partant de 1 de définir toute suite inverse de Collatz qui peut atteindre tout nombre pair ou impair quelconque la démonstration est faite

Oui, ça c'est bien vrai.

[Pseuda]

Bonsoir,

Pour info, cette méthode par la suite inverse n'est pas nouvelle : on l'a déjà vue passer sur le forum.

Il est donc démontré que toute suite inverse de Collatz diverge vers de trés grand nombres pairs ou impairs ou s'arrête à tout entier positif fini.
Donc toute suite de Collatz converge vers 1 et il ne peut exister aucun autre cycle que le cycle trivial.

Ceci ne montre rien : toute suite inverse peut aller vers de très grands nombres, il faudrait montrer que tout nombre entier positif (tout nombre impair d'ailleurs est suffisant) peut être obtenu de cette façon.

[CAMI]

Vous faite la preuve que vous n'avez pas compris ce que j'ai écrit ou oublié ou mal lu ,
Ce qui est remarquable c'est que pour n entier positif de 1 à l'infini et k entier positif de 1 à l'infini tout nombre impair est représenté une fois et une fois seulement par l'une des 2 équations ((3*n-2)*4^k-1)/3 ou ((3*n-1)*2^(2*k-1)-1)/3 et tout nombre impair non multiple de 3 est représenté une fois et une fois seulement par les équations 3*n-2 ou 3*n-1.
Ci vous ne comprenez pas que ces revendications font parti de la preuve c'est votre problème , il faut encore que vous apportiez la preuve qu'elles sont fausse si vous voulez être crédible !

[Pseuda]

Admettons que tout nombre impair peut s'écrire sous la forme : ((3*n-2)*4^k-1)/3 ou ((3*n-1)*2^(2*k-1)-1)/3 (au passage, ce ne sont pas des équations, mais des expressions), est-ce que cela montre que tout nombre impair peut être atteint par ces formules ?

Par contre, "tout nombre impair non multiple de 3 est représenté une fois et une fois seulement par les équations 3*n-2 ou 3*n-1", ça on le savait déjà ! (impair ou non d'ailleurs)

[nodgim]

Ce qui drôle avec cette conjecture mathématique abordable par tous, c'est que bien des amateurs se figurent dur comme fer avoir trouvé la preuve, même après qu'on leur fait voir là où leur démonstration n'en est pas une. CAMI est de ceux là.

CAMI, au lieu de te plaindre que nous ne comprenons pas ce que tu écris, comprends tu au moins nos remarques, ou refuses tu de les analyser ? Je comprends bien que tu as passé beaucoup de temps sur le sujet, et que c'est frustrant de constater que c'est pour rien, mais c'est ainsi. Ton analyse est facilement lisible, et c'est très banal, ce que tu as écrit, pour ceux qui se sont intéressés un peu à ce problème. Dans tout ce qu'on a pu lire sur ce site à ce sujet, ton analyse est loin d'être la plus poussée.

Si tu continues sur cette voie, à savoir ne pas tenir compte des remarques des autres, un modérateur va fermer ce sujet, et il ne faudra pas te plaindre.

[aviateur]

Bonjour
Ce qui est dommage ici c'est que le problème 3x+1 est compréhensible par tout le monde . Alors on peut commencer à l'étudier avec des connaissances mathématiques assez basiques. L'étudier ne veut pas dire le démontrer (là il ne faut pas trop rêver) mais énoncer certains petits résultats (tout cela en introduisant un vocabulaire correct bien entendu de façon que cela soit compréhensible par tout le monde). Puis automatiquement si on fait cela avec sérieux, on va se trouver avec de nouvelles questions qui seront des conjectures dans la conjecture et ainsi de suite.
Si on donne cela à lire sur un forum c'est certain que cela sera lu avec plaisir.
Dans une deuxième étape on pourrait lire les articles concernant ce problème. Il y en a malgré tout. C'est intéressant à lire et abordable aussi.
Mais ici dans ce post rien de tout cela n'est fait. Même avec les judicieuses remarques de certains le poster du sujet reste campé sur ses positions. Et je suis d'accord avec la remarque finale de @Nogdim.

[hdci]

En essayant de comprendre le texte écrit avec un vocabulaire peu commun ("convergence" et "divergence" d'une suite ont des significations très précises et qui se situent "au voisinage de l'infini", ici ils sont utilisés avec une autre définition, c'est plus ardu à suivre), j'arrive à cette compréhension :

1. vous traitez d'une "famille de suites" (inverses de Collatz) qui sont définies par , et par fonction de en choisissant l'une des deux formules suivantes : multiplication par 2, ou si est pair et congru à 1 modulo 3, division par 3 de (le choix n'ayant pas lieu si n'est pas pair ou n'est pas congru à 1 modulo 3)
2. On a ainsi autant de suites que de choix possibles, c'est-à-dire une infinité
3. sauf dans le cas trivial de la suite périodique de période 3, commençant 1 ; 2 ; 4, vous arrivez à la conclusion qu'une telle suite n'est pas majorée
4. C'est-à-dire : pour tout entier , il existe un entier tel que la suite de Collatz définie par contiendra à un certain rang la valeur 1
5. Et vous en déduisez que tout entier naturel N vérifie cela.

C'est en tout cas le sens de ce que je comprends ici

Il est donc démontré que toute suite inverse de Collatz diverge vers de trés grand nombres pairs ou impairs ou s'arrête à tout entier positif fini.
Donc toute suite de Collatz converge vers 1 et il ne peut exister aucun autre cycle que le cycle trivial.

La phrase "diverge vers de très grand nombre" doit être comprise il me semble par "n'est pas bornée", ce qui est exactement ce qu'exprime (4) ci-dessus .

La phrase "donc toute suite de Collatz converge vers 1" doit être comprise il me semble comme "toute suite de Collatz contient un terme égal à 1", dont la traduction pour une "suite de Collatz inverse" ne peut être que "pour tout entier N, il existe une suite de la famille des suites inverses de Collatz contenant un terme égal à N" ce qui est exactement ce qu'exprime (5) ci-dessus.

Mais ces deux phrases ne sont pas du tout équivalente, et il manque la preuve formelle pour passer de (4) à (5) ou, en langage plus formel :

• vous obtenez bien : c'est (4)
• mais je ne vois pas la preuve formelle de (5) qui est

[Lostounet]

Si tu continues sur cette voie, à savoir ne pas tenir compte des remarques des autres, un modérateur va fermer ce sujet, et il ne faudra pas te plaindre.

Je ne vais pas tarder à fermer cette discussion...
Mais bon tant que les habitués ont encore envie d'en discuter...