Racinte du polynome caracteristique

par **muse** » 16 Mai 2007, 13:02

Bonjour

je voudrais savoir quelles sont les méthodes de calcules des racines du polynome caracteristique (concernant les matrices), je ne connais que la méthodes en calculant le determinant.

merci

par **Joker62** » 16 Mai 2007, 13:06

En fait je pense que tu veux savoir la méthode pour avoir un polynôme annulateur d'un endormorphisme ???

par **muse** » 16 Mai 2007, 13:13

Heu peut etre ... je comprends pas ce que tu dis.

Je ne sais pas ce qu'est qu'un polynome annulateur d'endomorphisme. Ce que je voudrais c'est le polynome que on obtient en faisant:

Det(A-Xid) avec A une matrice carré

par **Joker62** » 16 Mai 2007, 13:20

Ben opération sur ligne colonne + entraînement alors.

par **fahr451** » 16 Mai 2007, 13:20

bonjour

calculer le déterminant comme l'a dit joker
il existe une méthode pour calculer les coefficients du polynôme qu 'on peut programmer

méthode le verrier? pas trop sûr du nom mais personne ne s 'en sert

par **muse** » 16 Mai 2007, 13:24

je crois que je me suis trompé dans ma demande

Je vous donner l'enoncer clairement :s

Sans calculer le determinant qui suit, determinant les racines du polynome

P(x)=Det de :

a b c
a x c
a b x

et en dedeuire la valeur du determinant

Donc en fait on me demande de trouver les valeur de x pour lesquelles le determinant de la matrice que j'ai donné vaut zero ?

par **fahr451** » 16 Mai 2007, 13:26

ok polynôme du second degré en x qui s 'annule en b et en c donc se factorise

par **muse** » 16 Mai 2007, 13:29

comment tu sais que ce polynome s'annule en b et en c ?

par **fahr451** » 16 Mai 2007, 13:30

remplace x par b que constates tu ?

par **muse** » 16 Mai 2007, 13:34

ha oui j'avais seulement vu que la collone 2 été constitué que de b mais en fait on a les deux ligne identique donc en faisant L1=L1-L2 on a une ligne de 0 par consequent le determinant est nul

Ok merci :)

De meme pour x=c

Maintenant comme tu sais que c'est un polynome du second degres ? pcq y'a deux x ?
Donc si j'ai mes deux solution j'ai : (x-b)(x-c) en developpant je m'aperçoit que c'est presque bon sauf que il manque le a, le vrai resultat est a(x-b)(x-c) comemnt je peux deviner que y'a un a devant ?

par **fahr451** » 16 Mai 2007, 13:37

oui si tu développes le déterminant par une méthode ou une autre il y a le produit des 2 x , des termes en x et des termes constants
d'ailleurs tu as besoin du coeff de x^2 pour factoriser

par **muse** » 16 Mai 2007, 14:42

Oui mais juste en regardant comme sa tu peux dire que c'est du second degres ?

pcq il me semble que si la matrice est :
a b c
a x c
a x x

ça reste du seconde degres malgres le fait qu'il y ait trois x

par **fahr451** » 16 Mai 2007, 14:56

ben oui toujours du second degré (au plus)

comment calcule-t-on un déterminant ?

avec la définition on fait le produit de coefficients en prenant à chaque fois
un seul terme par ligne et par colonne (ensuite on multiplie par +-1 et on somme) , dans ton exemple on ne prendra jamais les trois x en même temps

par **muse** » 16 Mai 2007, 15:20

oui mais l'énoncé di qu'il ne faut pas calculer le determinant alors comment savoir quel est le degres sans calcule du determinant?

par **fahr451** » 16 Mai 2007, 17:29

on le calcule sans le calculer ...

un développement donnerait la forme dx^2+ex+f mais on ne calcule pas e et f seulement d

par **muse** » 16 Mai 2007, 20:00

Ok merci bien j'ai compris :)

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