à quoi sert la méthode de variation de la constante?

[Romanouch]

Bonsoir,

Pour la résolution de l'ED linéaire d'ordre 1: (avec les fonctions a et b comme il faut et sur le bon intervalle), je n'arrive pas à comprendre l'intérêt de la méthode de variation de la constante.

Je peux utiliser la formule générale donnant la solution de l'équation:

Il me faut alors déterminer une primitive A de la fonction a, et calculer une primitive de .

Je ne vois pas en quoi la méthode de variation de la constante simplifie quelque chose, ou permet de résoudre des problèmes qui seraient difficiles avec la formule générale. On doit de toute façon déterminer une primitive de a et de toute façon une primitive de .

Alors à quoi elle sert cette méthode? Dans des exos théoriques? Dans des cas auxquelles je ne pense pas? Elle sert à plein de trucs et je suis à côté de la plaque?

[aviateur]

Bonjour
Et si la méthode de la variation de la constante servait à démontrer ta formule? !!!

Au moins, elle aura servi à quelque chose un jour.!!

[GaBuZoMeu]

La méthode de variation de la constante aboutit effectivement aux mêmes calculs . On peut retrouver ainsi la solution, sans risquer de se tromper en essayant de se souvenir de la formule et pour en gros le même prix que par une application directe de la formule.
Pour ce qui est de la formule, on peut la retrouver par la méthode du facteur intégrant : on remarque que quand on multiplie le côté gauche de l'équation par le facteur , on obtient ce qui amène à résoudre . Pas besoin de variation de la constante pour établir la formule.

[Romanouch]

La méthode de variation de la constante aboutit effectivement aux mêmes calculs . On peut retrouver ainsi la solution, sans risquer de se tromper en essayant de se souvenir de la formule et pour en gros le même prix que par une application directe de la formule.
Pour ce qui est de la formule, on peut la retrouver par la méthode du facteur intégrant : on remarque que quand on multiplie le côté gauche de l'équation par le facteur , on obtient ce qui amène à résoudre . Pas besoin de variation de la constante pour établir la formule.

Merci pour ta réponse claire et respectueuse. Je suis d'accord que même sans la méthode de variation, en passant par le facteur intégrant, on retrouve la formule. J'ai quand même du mal à croire que la variation a été mise au programme de MPSI sans une bonne raison, juste pour décorer. Yen a des choses à étudier en maths, j'imagine qu'en choisissant de mettre spécifiquement ça au programme, ils avaient une idée en tête...

Peut-être qu'en Physique ça a un intérêt, qui sait?

[LB2]

Bonjour,

deux petites questions pour essayer de répondre à ta question Romanouch :

1. comment démontres tu la formule générale de l'équation ?
2. Comment résoudre des ED linéaires d'ordre supérieur, d'ordre 2 par exemple? (Il existe aussi une méthode de variation des constantes à l'ordre 2, mais elle est limite HP en seconde année de prépa)

[Romanouch]

Bonjour,

deux petites questions pour essayer de répondre à ta question Romanouch :

1. comment démontres tu la formule générale de l'équation ?
2. Comment résoudre des ED linéaires d'ordre supérieur, d'ordre 2 par exemple? (Il existe aussi une méthode de variation des constantes à l'ordre 2, mais elle est limite HP en seconde année de prépa)

Bonsoir,

J'ai regardé les démos dont vous parlez (ordre inférieur ou égal à 2), je crois comprendre que pour démontrer que toutes les solutions sont de la forme en question (celle de "ma" formule), on utilise la méthode de variation de la constante.

Bon, il me semble quand même qu'elle n'est pas nécessaire pour l'ordre1 (utilisation du facteur intégrant).
Pour l'ordre 2, par la méthode de variation + unicité de la solution avec conditions initiales, on prouve que la solution est toujours de la forme donnée par le cours.

Pour les ordres au-dessus de 2, je n'ai pas regardé, je vais le faire.

C'est bien ça que vous cherchiez à me faire comprendre?

Est-ce que cette méthode de variation à une autre application que les démos des expressions des solutions? Dans des problèmes ou exercices classiques par exemple?

[LB2]

Bonsoir,

pour l'ordre 2, lorsque les coefficients sont non constants, on utilise une méthode de variation des constantes (il y a 2 constantes), ou encore la méthode du wronskien.

En fait, la méthode du facteur intégrant que tu cites et la méthode de variation de la constante, pour l'ordre 1, c'est un peu bonnet blanc et blanc bonnet.
Voir ce fil : superieur/methode-variation-constante-t106554.html

[GaBuZoMeu]

En fait, la méthode du facteur intégrant que tu cites et la méthode de variation de la constante, pour l'ordre 1, c'est un peu bonnet blanc et blanc bonnet.
Voir ce fil : superieur/methode-variation-constante-t106554.html

Je ne suis pas tout à fait d'accord, et je trouve que l'explication dans le fil mis en lien est assez confuse (confusion en particulier entre le facteur intégrant et la solution de l'équation homogène).

[LB2]

ah zut! je ne l'ai pas relue, my bad