Ça sert à quelque chose ?

[Trident]

Salut à tous.

Je rappelle la définition de la fonction exponentielle que je préfère : on appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable solution du problème de Cauchy : y'=y et y(0)=1. On la note exp.

J'ai voulu démontrer que pour x réel, .

J'ai donc commencé par le montrer pour x rationnel et j'ai donc utilisé ensuite le fait que Q est dense dans R etc...

Puis je me suis dit : "je suis bête, on a définit pour a réel strictement positif et x réel, a^x par exp(x ln(a))." Donc du coup, il n'y a rien à faire et j'ai fait tout ça pour rien !!

Puis je me dis que j'ai peut être pas finalement perdu mon temps car si x est rationnel, alors x s'écrit p/q avec p dans N, q dans Z* et donc pour a réel positif, on peut définir a^x sans passer par l'exponentielle, mais :

.

Donc du coup, ça a un intérêt de le montrer pour x rationnel ? Êtes vous d'accord avec moi ou ai-je dis une bêtise ?

Merci.

[MacManus]

.

Oui, et tu peux même écrire que
C'est ici justement que tu peux utiliser le fait que Q est dense dans R.
En fait, c'est par continuité de la fonction puissance.

[Skullkid]

Bonsoir, si tu veux montrer que exp(x) = exp(1)^x il te faut d'abord donner une définition de a^x pour x réel quelconque, sans utiliser la fonction exponentielle. Sinon c'est le serpent qui se mord la queue.

[Trident]

Merci MacManus.

Bonsoir, si tu veux montrer que exp(x) = exp(1)^x il te faut d'abord donner une définition de a^x pour x réel quelconque, sans utiliser la fonction exponentielle. Sinon c'est le serpent qui se mord la queue.

C'est bien ce que je dis. C'est pour cela que j'ai réussi à démontrer le truc pour x rationnel et là, j'ai une définition de a^x pour x rationnel (avec a > 0) sans passer par l'exponentielle.

Je ne connais pas de définition de a^x qui n'utilise pas exponentielle, si tu en as une, j'aimerais la connaître.

[DamX]

Si tu as défini pour x>0, x^n=x*....*x puis comme l'unique solution réelle positive de l'équation y^n=x et enfin , tu peux finir le boulot (définir la puissance sans utiliser l'exponentielle) sur si tu montres que quelque soit un a > 0, est continue sur (j'ai pas réfléchi mais ça ne m'a pas l'air direct à la vue des définitions prises au-dessus), puis l'extension à se fera simplement par continuité/densité. Mais il faut donc montrer la continuité sur d'abord.

Damien

[Trident]

Si tu as défini pour x>0, x^n=x*....*x puis comme l'unique solution réelle positive de l'équation y^n=x et enfin , tu peux finir le boulot (définir la puissance sans utiliser l'exponentielle) sur si tu montres que quelque soit un a > 0, est continue sur (j'ai pas réfléchi mais ça ne m'a pas l'air direct à la vue des définitions prises au-dessus), puis l'extension à se fera simplement par continuité/densité. Mais il faut donc montrer la continuité sur d'abord.

Damien

En effet ! Je m'y pencherai tout à l'heure.

[Trident]

Au passage, je prépare une fiche sous forme d'exercices guidés pour les maths sup sur la démonstration de toutes les propriétés de la fonction exp en passant uniquement par sa définition.

J'arrive à la propriété à démontrer : lim (x -> +oo) exp(x) = +oo.

Vraiment au hasard, la première idée qui m'est venue à l'esprit est l'étude de la fonction h(x)= exp(x)/x définie sur un voisinage de +oo, par exemple [1;+oo[.

On la dérive (elle est bien dérivable) et on obtiens : h'(x) = [exp(x)(x-1)] / x² , quantité positive sur [1;+oo[ donc h est croissante et en particulier, pour x >=1 , h(x) >= h(1) = e. Donc exp(x) > e*x et par les théorèmes de comparaison, on conclut.

N'existe-t-il pas une preuve plus classique ? Plus riche pour les élèves en terme d'astuces par exemple ?

[MacManus]

Une autre façon est de considérer la fonction définie sur R par f : x --> exp(x)-x
Sa dérivée sur R vaut f'(x)=exp(x)-1
f'(x)>=0 si et seulement si exp(x)>=1, càd ssi x>=0
Tu remarques que f admet un minimum (strictement positif) sur R. Il est atteint en x=0 et vaut f(0)=1
Donc f est strictement positive sur R. Donc x <= exp(x).
Or x -> infini donc exp -> infini

[Trident]

f'(x)>=0 si et seulement si exp(x)>=1, càd ssi x>=0

Merci MacManus mais ceci ne me paraît pas évident en considérant uniquement la définition de l'exp par le problème de Cauchy.

A vrai dire, dans ma démo, il faut aussi préalablement montrer que exp > 0 sur R (ou au moins sur [1;+oo[).

[adrien69]

Directement via la définition de Cauchy plus positivité.

On part de f(0)=1 et f'(x)=f(x) pour tout x.

Pourquoi donc f tendrait-elle vers l'infini en l'infini ?

Eh bien :

Tu as dit avoir montré que f était positive. Nickel on va s'en servir.

f'(x)=f(x) implique f''(x)=f'(x)=f(x), donc comme f est positive, f'' l'est aussi. Donc f' est croissante. Or f'(0)=1, donc comme , par comparaison,

Et c'est gagné.

(Ne pas oublier de justifier pourquoi f'' existe, pourquoi f est l'intégrale de sa dérivée, pourquoi on peut comparer, mais tu feras ça mieux que moi)

[adrien69]

T'as montré comment que exp était strictement positive d'ailleurs ?
Parce que la façon de faire à laquelle je pense est celle-ci personnellement (elle est un peu "astucieuse")

On a f'(x)=f(x) pour tout x et f(0)=1.

On pose g(x)=f(-x) et h(x)=g(x)f(x).

h'=g'f+gf'=-f'(-x)f(x)+f(-x)f'(x)=-f(-x)f(x)+f(-x)f(x)=0

Donc h est constante, sauf que h(0)=1. Donc f(x)f(-x)=1 pour tout x. En particulier, f(x) est toujours non nul, or f(0)>0. Là on utilise la continuité de f : le théorème des valeurs intermédiaires assure alors f>0

[Trident]

Merci adrien.

J'ai montré de deux façons que exp est > 0. La première, c'est exactement comme toi! Puis, la seconde est aussi astucieuse, je montre préalablement que exp(x+y)=exp(x)exp(y) pour x,y réels [suffit de fixer y et considérer la fonction.x-> exp(x+y)/exp(x), montrer qu'elle est constante à exp(y) en montrant que la dérivée est nulle et en regardant la valeur pour x=0 ], et bien sûr, faut montrer que exp ne s'annule jamais sinon cette fonction est mal définie (et ceci se fait facilement avec ta fonction h constante à 1).

Puis ensuite, c'est simple, exp(x)= exp(x/2+x/2) = exp(x/2) ^ 2 >= 0 puis > 0 car exp ne s'annule jamais.

[adrien69]

Ah oui j'avais oublié ce exp(x)=exp(x/2)² !

C'est ça qui fait tout marcher.

Une autre méthode alors, qui montre directement l'égalité ci-dessus si tu veux.

On pose g(x)=exp(x/2),

Posons h(x)=g(x)g(x)

Evidemment h(0)=1

h'(x)=2g'(x)g(x)=2/2 *g(x)*g(x)=h(x)

Donc h et exp vérifient la même équation différentielle.

Ton cours (ou le théorème sur les problèmes de Cauchy que tu verras l'an prochain) te dit alors que h=exp. Donc exp est positive (ou nulle)

[DamX]

Pour le sujet de la définition de la fonction puissance sans passer par l'exponentielle, j'ai fait ça rapidement pour la continuité sur Q, j'espère pas avoir fait de boulette ou avoir utilisé l'exponentielle de façon déguisée dans le savoir :
Soit a>0,
Soit eps>0,
Soit x=p/q, avec q entier >0, eta >0 (rationnel) et x' = p'/q', avec q'>0, tel que |x-x'|1, Quitte à prendre -x au lieu de x.

on a :

Cas 1 : on suppose x'>x, alors :
[TEX]|a^x-a^x'| = a^{p'/q'}-a^{p/q} = a^{p/q}(a^{p'/q'-p/q}-1)\\
|a^x-a^x'|0.

Une fois la puissance étendue à R par continuité grâce à la densité de Q dans R, reste à boucler l'histoire et montrer l'identité entre a^x et exp(xln(a)) (avec l'exponentielle définit par le problème de Cauchy)!

(PS : pour être carré, il faut avoir démontré au préalable les règles de calculs des puissance comme x^ax^b = x^(a+b) pour a et b rationnels, et rajouté la définition a^-1 = 1/a qui manquait par rapport aux définitions préalablement citées. Quant à la limite de a^(1/n), avec a>1, elle se montre facilement en montrant l'encadrement 1<a^[1/(n+1)]<a^[1/n] pour la convergence et que 1 est la seule limite possible)

[adrien69]

Il doit y avoir plein d'autres façon de faire.

Je ne pense à aucune autre pour l'instant qui parte de ta définition.

Mais je pense que la démo la plus "intuitive/géométrique" c'est celle que je t'ai proposée, avec la croissance de la dérivée (quand on fait le dessin c'est le premier truc qu'on a envie d'utiliser).

Allez, question bonus, montrer de la même façon que exp(x)/x^n tend vers l'infini, quel que soit n.

[Trident]

Le théorème sur les problèmes de Cauchy, ça doit être Cauchy-Lipschitz, je l'ai vu cette année.
Merci Damien, je vais lire tout ça.

Il doit y avoir plein d'autres façon de faire.

Je ne pense à aucune autre pour l'instant qui parte de ta définition.

M:-) ais je pense que la démo la plus "intuitive/géométrique" c'est celle que je t'ai proposée, avec la croissance de la dérivée (quand on fait le dessin c'est le premier truc qu'on a envie d'utiliser).

Allez, question bonus, montrer de la même façon que exp(x)/x^n tend vers l'infini, quel que soit n.

J'en reste à ma fonction habituelle de source [n+1,oo[, de but R définie par h(x) = exp(x)|x^(n+1) de dérivée h'(x) = exp(x)x^n[x-(n+1)]| (x^2n) positive donc fonction croissante donc h(x) > h(n+1) puis en multipliant par x>0, il vient exp(x)|x^n > [exp(n+1)| n^(n+1) ]x. Coeff directeur strict positif, c'est gagné!

[adrien69]

C'est une méthode valide. Mais je ne l'aime pas, elle manque de géométrie à mon goût (et aussi de précision, mais ça c'est une autre histoire)

Comme je l'ai fait tout à l'heure, on montre que f^(n) est croissante, donc supérieure à 1 pour x plus grand que 0.

Donc
ce qui implique en intégrant encore que





Etc

Donc

f( pour tout n et pour tout x positif.


Et en fait, là où c'est beau, c'est que le truc à droite, eh bien, quand n tend vers l'infini, ça tend vers exp(x) (mais tu verras ça plus tard)

Donc à un très faible coût (on a juste intégré quoi), on a une estimation extrêmement précise de l'exponentielle.

[Trident]

Belle méthode. Je ne suis pas au lycée par contre. :ptdr: J'ai vu depuis assez longtemps que la série des x^n|n! pour tout x, converge vers exp(x). C'est d'ailleurs une définition de l'exponentielle.

Merci en tout cas pour toutes ces méthodes, je vais les inclure dans ma fiche.

[adrien69]

Ah d'accord !
Je pensais que tu te préparais à l'entrée en MPSI en fait ("fiche sous forme d'exercices guidés pour les maths sup" m'a induit en erreur).

Surtout du fait de la définition de l'exponentielle que tu utilises.

Bon dans ce cas là on peut encore jouer !

Alors montrons toujours à partir de la définition par équa diff que l'exponentielle est plus forte que toute puissance de x.

On regarde la suite , ça ça doit faire tilt. Ça converge vers l'exponentielle, on le sait, même si c'est pas stricto sensu au programme. On ne va pas l'utiliser, mais on le retient.

Bon

Donc
Le truc à gauche c'est en fait la dérivée du produit
donc est décroissant. Donc inférieur à la valeur en 0 c'est-à-dire 1, donc
Et ce pour tout n.

Là on a redémontré le lemme de Gronwall (je dis le nom si ça t'intéresse et parce que c'est assez utile aux concours de l'X et des ENS)

[adrien69]

Un autre méthode, très géométrique ce coup-ci.

On sait que exp est positive, donc d'après l'équadiff ses dérivées première et seconde le sont.

Donc exp est convexe.

En particulier, (exp(x)-1)/x définie pour x>0 est croissante. Mais elle possède une limite en 0 qui est sa dérivée donc 1.

Donc

Il y a aussi une autre version encore plus expéditive :

"Toute fonction non constante, croissante et convexe sur un voisinage de +oo admet une limite infinie en +oo" (si tu ne le sais pas, démontre-le)